Une méthode très efficace pour trouver des relations sur les valeurs propres est de s'intéresser à la trace et au déterminant de la matrice M.
On dispose en effet des relations suivantes :
$$\sum_{i=1}^n{\lambda _i}=Tr(M)$$ et $$\prod_{i=1}^n{\lambda _i}=Det(M)$$

Mais surtout il existe une autre relation qui est ignorée par beaucoup de monde et qui peut être utile dans certains cas :
$$\forall k \in \mathbb{N}^* \sum_{i=1}^n{\lambda _i^k}=Tr(M^k)$$
Cette relation peut servir dans le cas où k=2, on obtient une 3eme équations pour les valeurs propres.

Ouais... Enfin calculer le carré d'une matrice c'est super long, t'as pas mieux comme plan ?

Rah vous êtes difficiles :p mais oui, en fait il n'est pas utile de calculer toute la matrice au carré mais simplement sa diagonale (bah oui parce qu'on a juste besoin de la trace, la matrice on s'en fout un peu...).

Et le rang là dedans ?

J'y viens, connaitre le rang de M (qu'on va noter p) est assez intéressant... En effet, vous remarquez sans soucis que $$rg(M)=p \Longrightarrow dim(ker(M))=n-p$$ (mais si voyons ! Le théorème du rang ! ^^ ) où ce qui est pareil :
$$dim(ker(M-0\times I_n))=dim(E_0)=n-p$$

Eh ouais, vous l'avez reconnu, il s'agit de la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0 qui est donc, si M est diagonalisable, la valeur propre de multiplicité n-p (vous me suivez ? :-° ).

Pour résumer : si la matrice est diagonalisable et de rang p, alors 0 est valeur propre de multiplicité n-p.

La combinaison des méthodes précédentes est très puissante si la matrice est bourrée de 0, dans ce cas on a accès au calcul de son carré très rapidement et en plus on peut espérer que son rang n'est pas trop important.

Un exemple !

On y vient, voici un exemple où cette méthode est très efficace :
Trouver les valeurs propres de la matrice M

$$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 1 \\ 0 & 0 &... & 2 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &... & n-1 \\ 1 & 2 &... & n \end{pmatrix}\]$$

En premier lieu on regarde le rang de M, alors ici c'est pas compliqué, M est de rang 2, en effet, on voit bien que les n-1 premières lignes sont proportionnelles !
On en déduit que 0 est valeur propre de multiplicité n-2, il reste donc 2 valeurs propres à trouver a et b !
Bon bah on y va, la trace pour commencer, Tr(M)=n, on a donc a+b=n

Ensuite il faut passer M au carré, enfin juste la diagonale, allez à vos stylos, ce n'est pas bien méchant on aura en fait 1², 2²... jusqu'à (n-1)² sur la diagonale de M² puis tout en bas à droite on aura $$\sum_{k=1}^n{k^2}$$ mais vous l'aviez trouvé tout seul !

On en déduit donc que :
$$a^2+b^2=\sum_{k=1}^{n-1}{k^2} + \sum_{k=1}^n{k^2}=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2$$

Ou encore en remplaçant b par n-a,

$$a^2+(n-a)^2=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2$$

Ce qui en développant donne :

$$a^2-an+n^2-\sum_{k=1}^n{k^2}=0$$

On va trouver deux solutions pour a, comme a et b jouent un rôle symétrique, on aura en fait les deux valeurs propres manquantes.

Bon évidemment vous voyez que les calculs peuvent être très lourd, mais je vous mets au défi de me calculer le polynôme caractéristique et de chercher ces racines là-dessus...

L'auteur