La recherche des valeurs propres d'une matrice carrée peut parfois prendre des allures d'un sport de compétition, chacun à sa petite méthode et le but est d'aller le plus vite possible sans se tromper. Dans ce chapitre, on va faire un petit tour d'horizon des différentes méthodes.

Avant de commencer, vous vous demandez peut être si vous arrivez là quel est le rapport entre la diagonalisation et les valeurs propres ?
Et bien en fait le principe de la diagonalisation c'est de trouver une matrice semblable à M qui soit diagonale (déjà 20 fois que je le dis mais au moins ça rentrera ^^ ), avec des valeurs nulles partout sauf sur la diagonale. Et bien ces valeurs non nulles ce sont les valeurs propres de M !
Vous comprenez pourquoi leur calcul est obligatoire pour diagonaliser proprement ^^ .

Polynôme caractéristique

Présentation de la bête

Bon bah on démarre les choses sérieuses maintenant. Pour commencer, j'aimerai vous présenter un bon ami à moi, il s'appelle polynôme caractéristique associé à M et il est noté $$\chi__M$$ (il faut lire chi M, c'est du grec :-° ). Comme son nom l'indique, il s'agit d'un polynôme (non ??) de $$\mathbb{K}[X]$$, c'est-à-dire à coefficient dans $$\mathbb{K}$$, qui est donné par $$\chi_{_{M}}(\lambda)=det(A-\lambda I_n)$$.

Et bien comme vous le savez surement, les valeurs propres de M ne sont autres que les racines du polynôme caractéristique associé à M.

En gros il suffira de calculer les racines d'un polynôme pour trouver les valeurs propres de M.

Ouais mais bon trouver les racines d'un polynôme c'est pas si simple ! Puis va le calculer, ton déterminant, c'est pas facile tout ça !

Exactement, c'est pour ça que cette méthode n'est pas hyper utile. Pourtant c'est à elle que l'on pense en premier ce qui est dommage... A moins d'être dans le cas d'une matrice 3x3 avec une valeur propre évidente c'est franchement pas gagné. Lisez plutôt la suite !

Utilisation

Même si on ne s'en sert pas directement, le polynôme caractéristique est quand même important parce que c'est de lui que viennent tous les résultats sur la diagonalisation.

Par exemple, on sait grâce à lui que la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre donnée est égal à la multiplicité de cette valeur propre dans le spectre dans le cas d'une matrice diagonalisable.

Donc gardez bien en tête sa formule, on va voir de suite un exemple ou son utilisation permet de trouver les valeurs propres.

Trouver les valeurs propres de

$$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}\]$$

On calcule notre ami $$\chi__M(\lambda)$$ ce qui revient à calculer :

$$\[Det\begin{pmatrix} -\lambda & 2 & -1 \\ 3 & -2-\lambda & 0 \\ -2 & 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}\]$$

Bon bah ce déterminant se calcule assez bien une fois qu'on a le coup de main et on trouve :

$$\chi_{_{M}}(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+4)$$ ce qui nous donne les 3 valeurs propres...

$$Sp(M)=\{1,2,-4\}$$

Utilisez la trace et le déterminant

Une méthode très efficace pour trouver des relations sur les valeurs propres est de s'intéresser à la trace et au déterminant de la matrice M.
On dispose en effet des relations suivantes :
$$\sum_{i=1}^n{\lambda _i}=Tr(M)$$ et $$\prod_{i=1}^n{\lambda _i}=Det(M)$$

Mais surtout il existe une autre relation qui est ignorée par beaucoup de monde et qui peut être utile dans certains cas :
$$\forall k \in \mathbb{N}^* \sum_{i=1}^n{\lambda _i^k}=Tr(M^k)$$
Cette relation peut servir dans le cas où k=2, on obtient une 3eme équations pour les valeurs propres.

Ouais... Enfin calculer le carré d'une matrice c'est super long, t'as pas mieux comme plan ?

Rah vous êtes difficiles :p mais oui, en fait il n'est pas utile de calculer toute la matrice au carré mais simplement sa diagonale (bah oui parce qu'on a juste besoin de la trace, la matrice on s'en fout un peu...).

Et le rang là dedans ?

J'y viens, connaitre le rang de M (qu'on va noter p) est assez intéressant... En effet, vous remarquez sans soucis que $$rg(M)=p \Longrightarrow dim(ker(M))=n-p$$ (mais si voyons ! Le théorème du rang ! ^^ ) où ce qui est pareil :
$$dim(ker(M-0\times I_n))=dim(E_0)=n-p$$

Eh ouais, vous l'avez reconnu, il s'agit de la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0 qui est donc, si M est diagonalisable, la valeur propre de multiplicité n-p (vous me suivez ? :-° ).

Pour résumer : si la matrice est diagonalisable et de rang p, alors 0 est valeur propre de multiplicité n-p.

La combinaison des méthodes précédentes est très puissante si la matrice est bourrée de 0, dans ce cas on a accès au calcul de son carré très rapidement et en plus on peut espérer que son rang n'est pas trop important.

Un exemple !

On y vient, voici un exemple où cette méthode est très efficace :
Trouver les valeurs propres de la matrice M

$$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 1 \\ 0 & 0 &... & 2 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &... & n-1 \\ 1 & 2 &... & n \end{pmatrix}\]$$

En premier lieu on regarde le rang de M, alors ici c'est pas compliqué, M est de rang 2, en effet, on voit bien que les n-1 premières lignes sont proportionnelles !
On en déduit que 0 est valeur propre de multiplicité n-2, il reste donc 2 valeurs propres à trouver a et b !
Bon bah on y va, la trace pour commencer, Tr(M)=n, on a donc a+b=n

Ensuite il faut passer M au carré, enfin juste la diagonale, allez à vos stylos, ce n'est pas bien méchant on aura en fait 1², 2²... jusqu'à (n-1)² sur la diagonale de M² puis tout en bas à droite on aura $$\sum_{k=1}^n{k^2}$$ mais vous l'aviez trouvé tout seul !

On en déduit donc que :
$$a^2+b^2=\sum_{k=1}^{n-1}{k^2} + \sum_{k=1}^n{k^2}=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2$$

Ou encore en remplaçant b par n-a,

$$a^2+(n-a)^2=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2$$

Ce qui en développant donne :

$$a^2-an+n^2-\sum_{k=1}^n{k^2}=0$$

On va trouver deux solutions pour a, comme a et b jouent un rôle symétrique, on aura en fait les deux valeurs propres manquantes.

Bon évidemment vous voyez que les calculs peuvent être très lourd, mais je vous mets au défi de me calculer le polynôme caractéristique et de chercher ces racines là-dessus...

Magouilles diverses

Bon je vous avais dit que pour trouver des valeurs propres chacun avait sa cuisine perso, le but est d'aller très vite. Or, dans ce but, il peut être très appréciable de connaitre 2 ou 3 astuces qui permettent de trouver une valeur propre très rapidement, le calcul des autres valeurs propres peut ensuite être accéléré en retirant une inconnue.
Voici donc pour vous chers zéros les quelques trucs que j'ai trouvé.

Cas d'une matrice triangulaire

Pour une matrice triangulaire c'est très simple, on regarde les diagonales et on y lit les valeurs propres.
Pourquoi ? Mais calculez donc le polynôme caractéristique d'une telle matrice, vous voyez bien que ses racines sont les valeurs diagonales ^^ !

Regarder les lignes et les colonnes

Un truc à savoir, si la somme des éléments de toutes les lignes (ou de toutes les colonnes) est identique, alors cette somme est valeur propre associé au vecteur propre $$\[X=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ . \\. \\1\end{pmatrix}\]$$

Vous ne me croyez pas ? Et bah voyez vous même, calculez MX, vous verrez que ça va vous sortir un vecteur avec la somme de chaque ligne (on va l'appeler S) à chaque fois. En d'autres termes, on a MX=SX, c'est-à-dire que S est valeur propre (et en prime on a le vecteur propre qui va bien, et vous pourrez voir tout à l'heure que c'est du luxe !).

Regarder la transposée

Bon cette astuce ne va pas chercher très loin mais il est bon de savoir que $$M$$ et $${}^tM$$ ont le même spectre.
Par exemple si jamais vous trouvez que la somme des éléments de chaque colonne est la même, bah vous transposez puis vous revenez à la méthode précédente :-° .

Cas des matrices nilpotentes

Simple remarque au passage, les matrices nilpotentes ont un spectre réduit à 0 (en gros leur seule valeur propre c'est 0). C'est déjà un bon gain de temps si on vous demande les valeurs propres d'une matrice dont les puissances successives sont nuls à partir d'un certain rang.

Utiliser un polynôme annulateur

On reviendra plus bas sur la notion de polynôme annulateur d'une matrice M. Sachez pour l'instant que si on trouve un polynôme P tel que P(M)=0, alors pour toute valeur propre $$\lambda$$ de M, $$P(\lambda)=0$$. On en déduit que le spectre est inclus dans l'ensemble des racines des polynômes annulateurs de M.

Décomposer sa matrice

Vous vous souvenez que le rang d'une matrice était lié à la multiplicité de 0 comme valeur propre. Et bien on peut utiliser cette technique de façon un peu déguisée.

L'idée ici c'est de décomposer M comme somme de deux matrices dont l'une est de rang faible et l'autre est scalaire (c'est-à-dire proportionnelle à $$I_n$$).

Un exemple pour mieux comprendre :

$$\[M=\begin{pmatrix} a & b & ... & b & b \\ b & a &... & b& b \\ ... & ... & ... & ... \\ b & b &... & a & b \\ b & b &... & b & a \end{pmatrix}\]$$

On remarque facilement que $$M=(a-b)I_n+B$$ avec B la matrice avec que des b qui se trouve avoir la bonne idée d'être de rang 1.
On sait donc que 0 est valeur propre de multiplicité n-1 de B où encore ce qui est pareil que
$$dim(ker(B))=n-1$$ mais B n'est autre que $$M-(a-b)I_n$$ ! On a donc
$$dim(ker(M-(a-b)I_n))=n-1$$. En un mot comme en cent, a-b est valeur propre de M d'ordre de multiplicité n-1 ici.

Pratique hein :p ?

Utilisez Maple !

Dernière méthode pour les feignasses, vous ouvrez Maple, vous tapez votre matrice et sur le package LinearAlgebra (les majuscules sont importantes) vous prenez votre matrice et vous tapez la commande Eigenvalues(M). Maple va vous calculer les valeurs propres vite fait bien fait !

C'est sans doute la méthode la plus rapide :p .

Bon plus sérieusement elle peut vous servir si vous voulez vérifier vos résultats, donc à retenir.

Voilà pour le calcul des valeurs propres, à vous de vous entrainer pour être le plus efficace possible et ne pas perdre de temps sur cette partie qui n'est pas la plus passionnante des mathématiques, mais qui peut s'avérer très longue sans un peu de méthode et de technique !

L'auteur