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J'ai tout compris !
Techniques pratiques de diagonalisation d'une matrice

Techniques pratiques de diagonalisation d'une matrice

Mis à jour le mardi 19 novembre 2013
  • Difficile

Dans ce tuto nous allons voir des méthodes et des astuces pour diagonaliser une matrice. Pour ceux qui sont tombés ici parce qu'ils ont vu le mot matrice dans le titre mais qui ne savent pas ce que c'est, je suis navré mais ce tuto nécessite la connaissance de notions sur les matrices :( .

Pour les autres, il faut savoir que diagonaliser une matrice signifie, quand c'est possible, trouver une matrice semblable qui soit diagonale ainsi que les matrices de passages de l'une à l'autre.

Dans ce tuto, nous n'allons pas nous attarder sur la théorie de la réduction des endomorphismes mais entrer concrètement dans le vif du sujet et insister sur les aspects pratiques de la diagonalisation. En effet, diagonaliser une matrice est hyper utile car il est 100 fois plus simples de travailler avec des matrices diagonales qu'avec les autres :-° .

On démarre quand vous voulez...

Vocabulaire et définition

Bon commençons par mettre tout le monde d'accord avec un petit paragraphe sur le vocabulaire et les définitions et sur les conventions d'écriture que nous allons utiliser tout au long de ce chapitre.

On ne s'intéressera qu'aux matrices définies sur $$M_n(\mathbb{K})$$$$\mathbb{K}$$ est un corps, ici on se limitera à $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, et n un entier supérieur à 1. Cela veut dire en clair que les éléments de la matrices seront des éléments de $$\mathbb{K}$$.

Lorsque j'écrirai par la suite M sans donner plus de précision, il s'agira d'une matrice de $$M_n(\mathbb{K})$$, lorsque ça sera nécessaire, il sera précisé si on est sur l'ensemble des complexes et des réels car ce n'est pas la même chose ^^ !

Maintenant que c'est dit, passons aux définitions.

Vous allez voir qu'avec la diagonalisation, on va souvent parler de propreté, pas d'inquiétude il s'agit toujours de mathématiques !

Une valeur propre$$\lambda$$ est un élément de $$\mathbb{K}$$ tel qu'il existe un vecteur X de $$\mathbb{K}^n$$ non nul tel que $$MX=\lambda X$$

Ce vecteur X est appelé vecteur propre de M associé à la valeur propre $$\lambda$$.

Enfin l'ensemble $$E_\lambda=Ker(M-\lambda I_n)$$$$I_n$$ est la matrice identité est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre $$\lambda$$.

Ceux qui ont pris deux minutes pour réfléchir ne manqueront pas de remarquer que $$X\in E_\lambda \Longleftrightarrow (M-\lambda I)X = 0$$ par définition du noyau et donc que $$MX=\lambda X$$.

En un mot, le sous-espace propre associé à une valeur propre $$\lambda$$ est l'ensemble des vecteurs propres associés à cette même valeur propre (ouf, c'est long à dire !) auquel on rajoute 0.

Dernière chose, les valeurs propres, les vecteurs propres et les sous-espaces propres d'une matrice M sont ses éléments propres (comme ça au moins c'est clair... ^^ ).

On cherchera toujours les n valeurs propres d'une matrice de taille n, ça ne veut pas dire que ces valeurs propres sont différentes... On parle alors de multiplicité pour la valeur propre (ou d'ordre de multiplicité).
L'ensemble des valeurs propres d'une matrice M se nomme le spectre, il est noté Sp(M). Dans cet ensemble on écrit les valeurs propres différentes de M, il ne contient donc pas toujours n éléments !

Bon je crois qu'on progresse un peu, maintenant le but du jeu c'est de procéder comme ceci :

On se donne une matrice quelconque, vous avez surement remarqué que ce n'est vraiment pas très simple de travailler avec... Déjà ne serait-ce que pour mettre une matrice au carré il faut réaliser un nombre incroyable d'opérations !
C'est tout l'intérêt de la diagonalisation, en fait on va chercher une matrice diagonale qui est semblable à notre matrice de départ, on va travailler dessus puis utiliser des propriétés sur la similitude de deux matrices qui fait qu'on pourra revenir à notre première matrice.

Regardez plutôt : on a une matrice M, admettons qu'on a réussi à la diagonaliser (on verra ensuite comment faire), alors il existe une matrice P inversible telle que $$M=P^{-1}DP$$ avec D une matrice diagonale. Or on aime bien travailler avec des matrices diagonales, elles sont faciles à multiplier, on voit vite si elles sont inversibles etc... Et évidemment on pourra toujours revenir à M grâce aux matrices de passages P.

La philosophie c'est qu'il vaut mieux se fatiguer à diagonaliser au début et être tranquille après que de continuer à galérer avec la matrice de départ. Pour cela on possède en 3 étapes.

- On trouve toutes ses valeurs propres
- On trouve ses vecteurs propres, ses sous espaces propres
- On cherche à savoir si la matrice est diagonalisable (et ouais parce que c'est pas toujours le cas :( )

Et c'est gagné !

Vous vous doutez qu'il existe une ribambelle de méthodes pour ces 3 étapes, on va regarder ça dans la suite. Je précise tout de suite que je ne vais pas refaire votre cours ! Ici on ne verra que des méthodes pratiques et pas de théorie générale, vous êtes prévenus...

Trouver les valeurs propres

La recherche des valeurs propres d'une matrice carrée peut parfois prendre des allures d'un sport de compétition, chacun à sa petite méthode et le but est d'aller le plus vite possible sans se tromper. Dans ce chapitre, on va faire un petit tour d'horizon des différentes méthodes.

Avant de commencer, vous vous demandez peut être si vous arrivez là quel est le rapport entre la diagonalisation et les valeurs propres ?
Et bien en fait le principe de la diagonalisation c'est de trouver une matrice semblable à M qui soit diagonale (déjà 20 fois que je le dis mais au moins ça rentrera ^^ ), avec des valeurs nulles partout sauf sur la diagonale. Et bien ces valeurs non nulles ce sont les valeurs propres de M !
Vous comprenez pourquoi leur calcul est obligatoire pour diagonaliser proprement ^^ .

Polynôme caractéristique

Présentation de la bête

Bon bah on démarre les choses sérieuses maintenant. Pour commencer, j'aimerai vous présenter un bon ami à moi, il s'appelle polynôme caractéristique associé à M et il est noté $$\chi__M$$ (il faut lire chi M, c'est du grec :-° ). Comme son nom l'indique, il s'agit d'un polynôme (non ??) de $$\mathbb{K}[X]$$, c'est-à-dire à coefficient dans $$\mathbb{K}$$, qui est donné par $$\chi_{_{M}}(\lambda)=det(A-\lambda I_n)$$.

Et bien comme vous le savez surement, les valeurs propres de M ne sont autres que les racines du polynôme caractéristique associé à M.

En gros il suffira de calculer les racines d'un polynôme pour trouver les valeurs propres de M.

Ouais mais bon trouver les racines d'un polynôme c'est pas si simple ! Puis va le calculer, ton déterminant, c'est pas facile tout ça !

Exactement, c'est pour ça que cette méthode n'est pas hyper utile. Pourtant c'est à elle que l'on pense en premier ce qui est dommage... A moins d'être dans le cas d'une matrice 3x3 avec une valeur propre évidente c'est franchement pas gagné. Lisez plutôt la suite !

Utilisation

Même si on ne s'en sert pas directement, le polynôme caractéristique est quand même important parce que c'est de lui que viennent tous les résultats sur la diagonalisation.

Par exemple, on sait grâce à lui que la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre donnée est égal à la multiplicité de cette valeur propre dans le spectre dans le cas d'une matrice diagonalisable.

Donc gardez bien en tête sa formule, on va voir de suite un exemple ou son utilisation permet de trouver les valeurs propres.

Trouver les valeurs propres de

$$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}\]$$

On calcule notre ami $$\chi__M(\lambda)$$ ce qui revient à calculer :

$$\[Det\begin{pmatrix} -\lambda & 2 & -1 \\ 3 & -2-\lambda & 0 \\ -2 & 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}\]$$

Bon bah ce déterminant se calcule assez bien une fois qu'on a le coup de main et on trouve :

$$\chi_{_{M}}(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+4)$$ ce qui nous donne les 3 valeurs propres...

$$Sp(M)=\{1,2,-4\}$$

Utilisez la trace et le déterminant

Une méthode très efficace pour trouver des relations sur les valeurs propres est de s'intéresser à la trace et au déterminant de la matrice M.
On dispose en effet des relations suivantes :
$$\sum_{i=1}^n{\lambda _i}=Tr(M)$$ et $$\prod_{i=1}^n{\lambda _i}=Det(M)$$

Mais surtout il existe une autre relation qui est ignorée par beaucoup de monde et qui peut être utile dans certains cas :
$$\forall k \in \mathbb{N}^* \sum_{i=1}^n{\lambda _i^k}=Tr(M^k)$$
Cette relation peut servir dans le cas où k=2, on obtient une 3eme équations pour les valeurs propres.

Ouais... Enfin calculer le carré d'une matrice c'est super long, t'as pas mieux comme plan ?

Rah vous êtes difficiles :p mais oui, en fait il n'est pas utile de calculer toute la matrice au carré mais simplement sa diagonale (bah oui parce qu'on a juste besoin de la trace, la matrice on s'en fout un peu...).

Et le rang là dedans ?

J'y viens, connaitre le rang de M (qu'on va noter p) est assez intéressant... En effet, vous remarquez sans soucis que $$rg(M)=p \Longrightarrow dim(ker(M))=n-p$$ (mais si voyons ! Le théorème du rang ! ^^ ) où ce qui est pareil :
$$dim(ker(M-0\times I_n))=dim(E_0)=n-p$$

Eh ouais, vous l'avez reconnu, il s'agit de la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0 qui est donc, si M est diagonalisable, la valeur propre de multiplicité n-p (vous me suivez ? :-° ).

Pour résumer : si la matrice est diagonalisable et de rang p, alors 0 est valeur propre de multiplicité n-p.

La combinaison des méthodes précédentes est très puissante si la matrice est bourrée de 0, dans ce cas on a accès au calcul de son carré très rapidement et en plus on peut espérer que son rang n'est pas trop important.

Un exemple !

On y vient, voici un exemple où cette méthode est très efficace :
Trouver les valeurs propres de la matrice M

$$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 1 \\ 0 & 0 &... & 2 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &... & n-1 \\ 1 & 2 &... & n \end{pmatrix}\]$$

En premier lieu on regarde le rang de M, alors ici c'est pas compliqué, M est de rang 2, en effet, on voit bien que les n-1 premières lignes sont proportionnelles !
On en déduit que 0 est valeur propre de multiplicité n-2, il reste donc 2 valeurs propres à trouver a et b !
Bon bah on y va, la trace pour commencer, Tr(M)=n, on a donc a+b=n

Ensuite il faut passer M au carré, enfin juste la diagonale, allez à vos stylos, ce n'est pas bien méchant on aura en fait 1², 2²... jusqu'à (n-1)² sur la diagonale de M² puis tout en bas à droite on aura $$\sum_{k=1}^n{k^2}$$ mais vous l'aviez trouvé tout seul !

On en déduit donc que :
$$a^2+b^2=\sum_{k=1}^{n-1}{k^2} + \sum_{k=1}^n{k^2}=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2$$

Ou encore en remplaçant b par n-a,

$$a^2+(n-a)^2=2\sum_{k=1}^n{k^2}-n^2$$

Ce qui en développant donne :

$$a^2-an+n^2-\sum_{k=1}^n{k^2}=0$$

On va trouver deux solutions pour a, comme a et b jouent un rôle symétrique, on aura en fait les deux valeurs propres manquantes.

Bon évidemment vous voyez que les calculs peuvent être très lourd, mais je vous mets au défi de me calculer le polynôme caractéristique et de chercher ces racines là-dessus...

Magouilles diverses

Bon je vous avais dit que pour trouver des valeurs propres chacun avait sa cuisine perso, le but est d'aller très vite. Or, dans ce but, il peut être très appréciable de connaitre 2 ou 3 astuces qui permettent de trouver une valeur propre très rapidement, le calcul des autres valeurs propres peut ensuite être accéléré en retirant une inconnue.
Voici donc pour vous chers zéros les quelques trucs que j'ai trouvé.

Cas d'une matrice triangulaire

Pour une matrice triangulaire c'est très simple, on regarde les diagonales et on y lit les valeurs propres.
Pourquoi ? Mais calculez donc le polynôme caractéristique d'une telle matrice, vous voyez bien que ses racines sont les valeurs diagonales ^^ !

Regarder les lignes et les colonnes

Un truc à savoir, si la somme des éléments de toutes les lignes (ou de toutes les colonnes) est identique, alors cette somme est valeur propre associé au vecteur propre $$\[X=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ . \\. \\1\end{pmatrix}\]$$

Vous ne me croyez pas ? Et bah voyez vous même, calculez MX, vous verrez que ça va vous sortir un vecteur avec la somme de chaque ligne (on va l'appeler S) à chaque fois. En d'autres termes, on a MX=SX, c'est-à-dire que S est valeur propre (et en prime on a le vecteur propre qui va bien, et vous pourrez voir tout à l'heure que c'est du luxe !).

Regarder la transposée

Bon cette astuce ne va pas chercher très loin mais il est bon de savoir que $$M$$ et $${}^tM$$ ont le même spectre.
Par exemple si jamais vous trouvez que la somme des éléments de chaque colonne est la même, bah vous transposez puis vous revenez à la méthode précédente :-° .

Cas des matrices nilpotentes

Simple remarque au passage, les matrices nilpotentes ont un spectre réduit à 0 (en gros leur seule valeur propre c'est 0). C'est déjà un bon gain de temps si on vous demande les valeurs propres d'une matrice dont les puissances successives sont nuls à partir d'un certain rang.

Utiliser un polynôme annulateur

On reviendra plus bas sur la notion de polynôme annulateur d'une matrice M. Sachez pour l'instant que si on trouve un polynôme P tel que P(M)=0, alors pour toute valeur propre $$\lambda$$ de M, $$P(\lambda)=0$$. On en déduit que le spectre est inclus dans l'ensemble des racines des polynômes annulateurs de M.

Décomposer sa matrice

Vous vous souvenez que le rang d'une matrice était lié à la multiplicité de 0 comme valeur propre. Et bien on peut utiliser cette technique de façon un peu déguisée.

L'idée ici c'est de décomposer M comme somme de deux matrices dont l'une est de rang faible et l'autre est scalaire (c'est-à-dire proportionnelle à $$I_n$$).

Un exemple pour mieux comprendre :

$$\[M=\begin{pmatrix} a & b & ... & b & b \\ b & a &... & b& b \\ ... & ... & ... & ... \\ b & b &... & a & b \\ b & b &... & b & a \end{pmatrix}\]$$

On remarque facilement que $$M=(a-b)I_n+B$$ avec B la matrice avec que des b qui se trouve avoir la bonne idée d'être de rang 1.
On sait donc que 0 est valeur propre de multiplicité n-1 de B où encore ce qui est pareil que
$$dim(ker(B))=n-1$$ mais B n'est autre que $$M-(a-b)I_n$$ ! On a donc
$$dim(ker(M-(a-b)I_n))=n-1$$. En un mot comme en cent, a-b est valeur propre de M d'ordre de multiplicité n-1 ici.

Pratique hein :p ?

Utilisez Maple !

Dernière méthode pour les feignasses, vous ouvrez Maple, vous tapez votre matrice et sur le package LinearAlgebra (les majuscules sont importantes) vous prenez votre matrice et vous tapez la commande Eigenvalues(M). Maple va vous calculer les valeurs propres vite fait bien fait !

C'est sans doute la méthode la plus rapide :p .

Bon plus sérieusement elle peut vous servir si vous voulez vérifier vos résultats, donc à retenir.

Voilà pour le calcul des valeurs propres, à vous de vous entrainer pour être le plus efficace possible et ne pas perdre de temps sur cette partie qui n'est pas la plus passionnante des mathématiques, mais qui peut s'avérer très longue sans un peu de méthode et de technique !

Vecteurs propres, sous-espaces propres

Si vous avez suivi la logique jusqu'ici, vous avez compris qu'une fois les valeurs propres trouvées, on s'intéresse logiquement aux vecteurs propres.
Pour cela, il n'y a pas de secrets... Il faut passer par la résolution d'un système linaire horrible qui s'écrit :

$$MX=\lambda X$$

Bon bah là il n'y a plus qu'à se taper la résolution. Sachant qu'on a le résultat suivant : pour une matrice M diagonalisable, l'ordre de multiplicité d'une valeur propre est égal à la multiplicité de cette valeur comme racine du polynôme caractéristique.
Donc si jamais on a une valeur propre de multiplicité 1, la résolution du système linéaire précédent va donner une droite vectorielle (une famille de vecteurs tous proportionnels). Si jamais la valeur propre a pour multiplicité 2, on va tomber sur un plan vectoriel etc...

Technique pour calculer un vecteur propre

Une méthode qui vaut ce qu'elle vaut mais qui, avec un peu de nez, facilite les choses.

Vous écrivez votre matrice $$M-\lambda I_n$$ pour chaque valeur propre et vous essayez de trouver une relation entre les lignes ou entre les colonnes.

Un exemple avant d'aller plus loin, on va prendre une matrice 3x3 vue plus haut.

$$\[M=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}\]$$

On avait trouvé $$Sp(M)=\{1,2,-4\}$$, on va s'intéresser à la valeur propre -4, écrivons alors $$M+4 I_3$$ par exemple.

$$M=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 5\end{pmatrix}$$

Si on note $$C_1$$ la colonne 1, $$C_2$$ la 2 et $$C_3$$ la 3, on remarque que $$-2\times C_1+3\times C_2 - 2\times C_3 = 0$$ (bon ok faut avoir un peu l'habitude pour le voir).

En d'autres termes, $$\[(M+4I_3)\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}=0\]$$, on a donc un vecteur propre associé à -4 qui est $$\[\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\]$$.
En gros vous écrivez une relation linéaire liant les colonnes de M (éventuellement les coefficients peuvent être 0) et puis vous réécrivez ces coefficients en colonne pour faire apparaître votre vecteur propre.

Et les sous-espaces propres dans tout ça ?

Bon bah pour les sous-espaces propres, une fois trouvé les vecteurs propres c'est facile. En fait on peut prendre des vecteurs propres linéairement indépendants associés à une même valeur propre et former ainsi une base du sous-espace. Ensuite c'est gagné puisqu'un espace vectoriel est entièrement décrit par sa base. On notera par exemple :

$$E_\lambda=Vect(X_1,X_2)$$ dans le cas d'un sous-espace de dimension 2.

Quel rapport avec les matrices de passage ?

Ça fait quelques lignes que je parle de matrices semblables à des matrices diagonales, il est donc légitime de s'intéresser à la matrice de passage P entre notre matrice M et la matrice diagonale qui lui est semblable et qu'on va appeler D.

Bon bah ça va pas chercher très loin, vous savez tous que la matrice D représente la même application que la matrice M dans une base de vecteur propre.

Mais reprenons, donc vous savez que D et M représente la même application, M dans la base canonique et D dans une base de vecteur propre. Pour passer de l'une à l'autre, on utilise la matrice P qui ne fait que transcrire les coordonnées des vecteurs propres dans la base canonique.

En gros, lorsque vous avez vos vecteurs propres, vous avez votre matrice de passage et il reste à l'inverser (ce qui peut toutefois être tendu ! :-° ) pour avoir complètement diagonalisé M.

Matrices diagonalisables

On va finir ce cours par un chapitre un peu différent. Ici on s'intéresse à la nature de la matrice, est-elle diagonalisable ? C'est-à-dire existe-t-il une matrice D diagonale telle que M et D soient semblables ?

Toutes les matrices ne sont pas semblables à une matrice diagonale, on dit qu'elles ne sont pas diagonalisables. En fait, il existe un résultat qui dit que les matrices complexes diagonalisables sont denses dans l'ensemble des matrices complexes $$M_n(\mathbb{C})$$, intuitivement ça veut dire que si on prend une matrice au pif, on a beaucoup plus de chance de tomber sur une matrice diagonalisable. Mais bon la vie c'est pas rose et en maths on doit tout prouver, alors il faudra toujours vérifier que la matrice qu'on vous donne est diagonalisable.

Il existe une tonne de théorèmes, de CNS (Conditions Nécessaires et Suffisantes) de diagonalisation qui sont toutes dans vos cours de maths, mon sujet n'est pas de les reprendre ici mais de vous montrer comment faire en pratique. Évidemment pour cela je vais m'appuyer sur ces théorèmes donc il est possible que j'en parle, mais n'espérez pas trouver de démonstrations ici !

Le polynôme annulateur

La méthode la plus utilisée parce qu'elle est simple, efficace et qu'elle marche dans les deux sens (c'est une CNS de diagonalisation). Le théorème dit que : M est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme scindé à racines simples P tel que P(M)=0.

Donc si jamais on vous donne une matrice pas trop compliquée, avec des 1 et des 0 un peu partout vous pouvez espérer que ses puissances successives fassent toujours apparaitre des 0 et des 1, essayez donc de calculer son carré, son cube et même plus si ça vous amuse. Si jamais vous trouvez des similitudes avec la matrice initiale vous tenez peut-être votre polynôme annulateur, reste à vérifier qu'il est scindé à racines simples et votre matrice est diagonalisable.

Un exemple !

On va s'intéresser à la matrice qui ne possède que des 1 partout, on la note traditionnellement J.

$$\[J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & .. & 1 & 1 \\ 1 & 1 & .. & 1 & 1 \\ 1 & 1 & .. & 1 & 1 \\ 1 & 1 & .. & 1 & 1\end{pmatrix}\]$$

On voit bien que J est bourrée de 1, on va donc calculer son carré. On obtient la matrice suivante :

$$\[J^2=\begin{pmatrix} n & n & .. & n & n \\ n & n & .. & n & n \\ n & n & .. & n & n \\ n & n & .. & n & n\end{pmatrix}\]$$ ou encore J²=nJ.

Vous ne voyez toujours pas le rapport ? Et bien prenez le polynôme P tel que $$P(X)=X^2-nX=X(X-n)$$. Et bien ce polynôme est scindé à racines simples (0 et n), donc J est diagonalisable !

Regarder les valeurs propres

Puisque maintenant vous êtes tous des as dans le calcul des valeurs propres, voici une méthode qui peut vous intéresser. On dispose en effet d'un résultat assez agréable :

Si une matrice a toutes ses valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable.

Cette méthode est d'une efficacité redoutable pour les matrices 2x2 et 3x3. Pour les matrices 2x2, le combo trace + déterminant vous permet de trouver les valeurs propres en deux deux ( :lol: :lol: ). Ensuite il suffit de voir si elles sont distinctes (sur 2 valeurs propres il y a des chances que ça marche ! ;) ).
Pour une 3x3 c'est pareil, on a assez rarement des valeurs propres doubles, sauf si on l'a fait exprès bien entendu (voir plus loin :-° ).

Un exemple pour une matrice 2x2 :
$$\[M=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 6\end{pmatrix}\]$$

On va noter a et b les deux valeurs propres.
Tr(M)=7 et Det(M)=6, soit vous remarquez tout de suite que a=1 et b=6, soit vous résolvez le système. Dans tous les cas vous voyez que a n'est pas égal à b et donc M est diagonalisable.

Regarder la dimension des sous-espaces propres

Cette troisième méthode est assez utile lorsque vous pouvez calculer facilement les sous-espaces propres. On dispose en effet du théorème suivant :

M est diagonalisable si et seulement si $$\sum_{\lambda \in Sp(M)}{dim(E_\lambda)}=dim(E)$$. En utilisant des termes moins barbares, ça veut dire que si vous avez trouvé les sous-espaces propres, il suffit de calculer la somme des dimensions, si celle-ci vaut n c'est gagné !

Un exemple et vous comprendrez mieux :

M est-elle diagonalisable ?

$$\[M=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0\end{pmatrix}\]$$

Première chose à faire, on regarde le rang de M, ici visiblement M est de rang 3, on ne voit pas a priori de liens entre les lignes ou les colonnes. Donc 0 n'est pas valeur propre...
On jette un rapide coup d'oeil sur la somme des lignes, et oh miracle elle est constante et vaut 3 ! On sait donc que 3 est valeur propre et on dispose d'un vecteur propre $$\[X=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\]$$.
Avant d'en dire plus, calculons le polynôme caractéristique de M, on pourra gagner du temps en le factorisant par (X-3) maintenant qu'on connait une valeur propre !
Je vous passe les calculs du déterminants et on trouve :
$$\chi __{M}=(3-X)(X-2)^2$$

Ici le polynôme caractéristique n'est pas scindé, on ne peut pas conclure tout de suite, pas de panique, on a déjà un sous-espace propre qui est de dimension 1 $$\[E_3=Vect\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\]$$.

Pour la deuxième valeur propre qui est 2, on va résoudre le système puisqu'on ne voit pas trop comment faire autrement.
Posons alors MX=2X en appelant X le vecteur inconnu : $$\[X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}\]$$

$$\left\{\begin{array}{r c l}a + 4b - 2c &=& 2a\\6b -3c &=& 2b\\-a + 4b &=& 2c\end{array}\right.$$

Bon bah un coup de pivot de Gauss là dedans et on trouve une solution : $$\[X=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}\]$$
On a donc notre deuxième sous-espace propre : $$\[E_2=Vect\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}\]$$ qui est lui aussi de dimension 1.

En conclusion : $$dim(E_2)+dim(E_3)\neq 3$$ M n'est donc pas diagonalisable.

Autres bidouilles

Pour continuer, on va voir les magouilles et bidouilles diverses que l'on peut tenter pour prouver qu'une matrice est diagonalisable.

Un cas immédiat

Un célèbre théorème nous apprend que les matrices symétriques réelles sont diagonalisables. Donc si vous avez une telle matrice devant les yeux c'est terminé !

Cas des projecteurs et des symétries

Les projecteurs sont diagonalisables, on peut en effet trouver une base en réunissant une base du noyau et de l'image de notre projecteur (qui sont en somme directe dans ce cas !), dans laquelle la matrice associée est diagonale (avec uniquement des 1 et des 0 sur la diagonale !).

Pour les symétries c'est pareil, mais avec des 1 et des -1 sur la diagonale.

Voilà donc deux cas assez simples !

Co-diagonalisation

Voilà une technique qui ne sert pas trop en pratique mais qui peut servir dans un exercice très classique dans lequel on vous demande par exemple de trouver une matrice M telle que :
$$M^2+M+I_2=B$$ où B est une matrice connue diagonalisable.

On utilise le résultat suivant : si une matrice M commute avec une matrice diagonalisable, alors si M est diagonalisable, elle l'est dans la même base de vecteurs propres (on parle alors de matrice codiagonalisables !).

Dans l'exemple précédent, $$M$$ commute avec $$M^2$$, avec elle-même évidemment et avec $$I_2$$, donc avec $$B$$ ! On sait donc que $$M$$ est diagonalisable et il reste à identifier les valeurs propres.

Comment montrer qu'une matrice n'est pas diagonalisable ?

Une question surprenante à première vue, pourquoi est ce qu'on voudrait prouver qu'une matrice n'est pas diagonalisable alors que le but suprême de notre vie est justement de diagonaliser des matrices ?
Et bien ça peut avoir un intérêt théorique intéressant, mais surtout ça vous aidera à repérer rapidement les cas de non diagonalisibilité qui peuvent se présenter.

Les méthodes dont on dispose sont assez faibles : Par exemple, le coup du polynôme annulateur est inutile ici car il faudrait montrer qu'il n'existe aucun polynôme scindé à racine simple qui annule notre matrice ce qui n'est pas gagné !
Bien entendu vous pouvez toujours réutiliser les CNS de diagonalisabilité dans l'autre sens mais à l'exception de celle sur la dimension des sous-espaces propre, aucune n'est vraiment pratique...

Voici tout de même quelques idées en vrac pour espérer vous en tirer.

Tout d'abord il est important d'avoir en tête qu'aucune matrice diagonalisable, à l'exception de la matrice nulle, n'a que 0 comme valeur propre. En effet, si une telle matrice existait, elle serait semblable à la matrice nulle et serait donc nulle elle aussi...

Dans le même ordre d'idée, si vous tombez sur une matrice qui n'a qu'une seule valeur propre, alors cette matrice n'est diagonalisable que si elle est non seulement diagonale mais aussi scalaire. En effet elle serait sinon semblable à une matrice scalaire et donc serait elle-même une matrice scalaire.
Vous ne me croyez pas ? Considérons alors une matrice M ayant 2 comme unique valeur propre.

Alors si M est diagonalisable, il existe une matrice P inversible telle que :
$$M=P^{-1}\times 2I_n \times P = 2\times I_n P^-1\times P=2\times I_n$$.

Heureux ? :D

Un petit exercice d'application classique est de trouver toutes les matrices 2x2 de $$M_n(\mathbb{R})$$ qui ne sont pas diagonalisables sur $$\mathbb{R}$$.
On sait que si les deux valeurs propres d'une matrice 2x2 sont différentes, alors cette matrice est diagonalisable. Donc on va chercher du côté des matrices 2x2 qui ont deux valeurs propres égales.
Une matrice avec toutes ses valeurs propres identiques est diagonalisable si et seulement si elle est scalaire. On a donc notre réponse !

Voilà pour ce tuto, j'espère qu'il vous aura servi à vous familiariser avec les différentes méthodes de diagonalisation que j'ai pu trouver, il y en a bien sûr beaucoup d'autres !

Mais au fait, pourquoi c'est si pratique de diagonaliser une matrice ?

Tiens c'est vrai ça ! :p

Et bien la réponse est simple, il est beaucoup plus facile de travailler avec des matrices diagonales. Par exemple si vous voulez mettre une matrice A à la puissance 29, vous avez le choix :

  • Soit vous avez du temps et vous comptez o_O .

  • Soit vous diagonalisez A, vous trouvez donc une matrice P inversible telle que $$A=P^{-1}DP$$ où D est diagonale et vous remarquez que $$A^{29}=P^{-1}D^{29}P$$ et là c'est tout bénef !

Avant de vous lâcher, voici un peu de culture générale :

Il est bon de savoir qu'il existe des tas d'autres formes de réduction plus ou moins poussée que la diagonalisation (qui constitue la forme de réduction la plus puissante néanmoins, on s'est pas foutu de vous hein ^^ !) et applicable à un ensemble plus vaste que celui des matrices diagonalisables (en gros si votre matrice a le malheur de ne pas être diagonalisable, vous pouvez toujours vous reporter sur d'autres formes de réduction). La première qui vous vient surement à l'esprit est la trigonalisation, qui consiste à trouver une matrice triangulaire semblable à M. En particulier, on dispose du résultat très sympathique suivant :

Sur $$M_n(\mathbb{C})$$ toutes les matrices sont trigonalisables.

Cependant, il existe d'autres méthodes intéressantes, dont la plus forte est la réduction dite de Jordan qui consiste à s'approcher le plus possible de la diagonalisation, mais il existe aussi la réduction de Dunford, qui permet de décomposer une matrice en une somme de deux matrices qui commutent dont l'une est diagonalisable et l'autre nilpotente.

Voilà c'est tout pour aujourd'hui, je vous laisse à vos matrices. ;)

déroulement d'un cours

  • 1

    Dès aujourd'hui, vous avez accès au contenu pédagogique et aux exercices du cours.

  • 2

    Vous progressez dans le cours semaine par semaine. Une partie du cours correspond à une semaine de travail de votre part.

  • !

    Les exercices doivent être réalisés en une semaine. La date limite vous sera annoncée au démarrage de chaque nouvelle partie. Les exercices sont indispensables pour obtenir votre certification.

  • 3

    À l'issue du cours, vous recevrez vos résultats par e-mail. Votre certificat de réussite vous sera également transmis si vous êtes membre Premium et que vous avez au moins 70% de bonnes réponses.

L'auteur

Exemple de certificat de réussite
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