Les maths pour tous !

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Mis à jour le jeudi 5 décembre 2013

Les fractions (calculs et comparaisons)

Et... si on reparlait un peu des fractions ? Nous les avons découvertes dans la partie précédente, en guise d'introduction, mais nous n'avons pas fini de les utiliser !

Les fractions vont vous poursuivre jusqu'à... euh... tout le temps en fait. :lol:
Raison de plus pour en faire vos amies dès maintenant, vu le temps que vous allez passer avec elles. ;)

Dans ce chapitre, nous allons apprendre à faire des calculs et des comparaisons entre fractions. Au programme : addition, soustraction et multiplication de fractions ! Suivez le guide et ce ne sera pas bien compliqué, vous verrez !

Rappels sur les fractions

Avant de commencer, je voudrais faire quelques rappels rapides avec vous sur les fractions.

Numérateur et dénominateur

Prenons la fraction "cinq sur deux" (que l'on peut prononcer "cinq demis") :

$$\frac{5}{2}$$

Une fraction est composée de deux nombres séparés par une barre. Vous vous souvenez comment on les appelle ? S'il y a bien un vocabulaire à retenir c'est celui-là !

  • Le numérateur : c'est le nombre au-dessus de la barre. Pour $$\frac{5}{2}$$ le numérateur est 5.

  • Le dénominateur : c'est le nombre en-dessous de la barre. Pour $$\frac{5}{2}$$ le dénominateur est 2.

$$\frac{\text{numerateur}}{\text{denominateur}}$$

Une fraction est un nombre

Souvenez-vous qu'une fraction correspond à un nombre : le résultat de la division du numérateur par le dénominateur. Pour $$\frac{5}{2}$$, le nombre qui se "cache" derrière cette fraction est en fait $$5 \div 2 = 2,5$$. Les fractions nous permettent d'éviter d'avoir à écrire des nombres décimaux, notamment lorsqu'il y a beaucoup de chiffres après la virgule.

Fraction inférieure, égale ou supérieure à 1 ?

Une fraction est donc un nombre.
Saviez-vous qu'il est possible de déterminer d'un seul coup d'oeil si une fraction vaut un nombre inférieur, égal ou supérieur à 1 ?

Comment ? Regardez bien les schémas qui vont suivre (et que vous connaissez déjà). ;)

Découpage d'un gâteau

Si on mange un bout d'un gâteau...

Imaginons qu'on ait un gâteau découpé en 9 parts et qu'on en mange 1 part :

Image utilisateur

Si on prend comme ici 1 part d'un gâteau découpé en 9 parts, on a $$\frac{1}{9}$$ morceau de gâteau. Dans ce cas, on a entre les mains moins d'1 gâteau (ben oui, puisqu'on n'en a qu'un bout :p ). On peut le vérifier en calculant le nombre correspondant à la fraction : $$1 \div 9 = 0,1111111$$.

La fraction $$\frac{1}{9}$$ (qui est égale à $$0,1111111$$) est donc inférieure à 1.

Si on mange le gâteau entier...

Maintenant, imaginons qu'on mange toutes les parts du gâteau :

Image utilisateur

Alors on a mangé très exactement 1 gâteau ! Calculez et vous verrez d'ailleurs que $$\frac{9}{9} = 9 \div 9 = 1$$.

Si on mange le gâteau entier ET des parts d'un autre gâteau (mode super gourmand)

Supposons qu'on prenne une part de plus encore (parce qu'il y a un deuxième gâteau à côté), on mange alors $$\frac{10}{9}$$ parts de gâteau.

Image utilisateur

On a donc mangé plus d'1 gâteau ! Ca se vérifie facilement en calculant la fraction : $$\frac{10}{9} = 10 \div 9 = 1,111111$$

A retenir

Comment savoir facilement si une fraction est inférieure, égale ou supérieure à 1 ?

Pas besoin de calculer le résultat de la division ! Il suffit de comparer le numérateur est le dénominateur ! Retenez bien ceci :

  • Quand le numérateur est inférieur au dénominateur (ex : $$\frac{1}{9}$$), alors la fraction est inférieure à 1.

  • Quand le numérateur est égal au dénominateur (ex : $$\frac{9}{9}$$), alors la fraction est égale à 1.

  • Quand le numérateur est supérieur au dénominateur (ex : $$\frac{10}{9}$$), alors la fraction est supérieure à 1.

A vous de jouer !

Sans calculer la division, juste en regardant le numérateur et le dénominateur, dites-moi pour chacune de ces fractions si elle est inférieure, égale ou supérieure à 1 :

  1. $$\frac{3}{4}$$

  2. $$\frac{7}{2}$$

  3. $$\frac{8}{8}$$

  4. $$\frac{3}{6}$$

  1. $$\frac{3}{4}$$ est inférieur à 1, car le numérateur (3) est plus petit que le dénominateur (4).

  2. $$\frac{7}{2}$$ est supérieur à 1, car le numérateur (7) est plus grand que le dénominateur (2).

  3. $$\frac{8}{8}$$ est égal à 1, car le numérateur est le dénominateur sont identiques (8) !

  4. $$\frac{3}{6}$$ est inférieur à 1 car le numérateur (3) est plus petit que le dénominateur (6).

Additionner et soustraire des fractions

On peut faire tous types de calculs avec les fractions. Après tout, ce sont des nombres, alors pourquoi ne pourrait-on pas les additionner ou les soustraire entre elles ?

$$\frac{3}{4} + \frac{7}{2} = \text{?}$$

Il y a quand même des règles à respecter pour pouvoir faire une addition (ou une soustraction) entre deux fractions. Il va falloir être attentif au dénominateur (le nombre en bas !) des deux fractions, car celui-ci doit être identique pour qu'on puisse effectuer le calcul !

Quand le dénominateur des deux fractions est identique

Exemple d'addition

Quand vous devez additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur, c'est le cas le plus simple. Par exemple :

$$\frac{3}{5} + \frac{1}{5}$$

Regardez bien les dénominateurs de l'opération. Ils sont identiques ? Oui, c'est le nombre 5 pour les deux fractions. Parfait, on peut continuer.

Dénominateurs identiques

Dans ce cas, vous rassemblez les deux fractions en conservant le même dénominateur, et additionnez les numérateurs :

$$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3 + 1}{5} = \frac{4}{5}$$

Le résultat est donc $$\frac{4}{5}$$.

Comme vous le voyez, le dénominateur reste le même. On fait juste une addition entre les numérateurs.

Exemple de soustraction

Pour soustraire deux fractions, c'est le même principe. Si le dénominateur est identique (et uniquement dans ce cas !), vous pouvez soustraire les numérateurs.

Par exemple, si on veut calculer :

$$\frac{6}{9} - \frac{2}{9}$$

On garde le même dénominateur, et on soustrait les numérateurs entre eux :

$$\frac{6}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6 - 2}{9} = \frac{4}{9}$$

Quand le dénominateur des deux fractions est différent

Quand le dénominateur est différent, par contre, aïe aïe aïe ! Vous ne pourrez pas calculer immédiatement l'addition (ou la soustraction).

$$\frac{6}{4} + \frac{3}{8} = \text{?}$$

Dans ce cas, les dénominateurs sont différents : il y a un 4 et un 8 !

Dénominateurs différents

Pas le choix : il faut trouver un moyen de rendre les dénominateurs égaux, sinon on ne pourra pas faire le calcul !

Comment on fait pour rendre les dénominateurs identiques ? C'est de la magie ? :magicien:

Mais non mais non. En maths, il n'y a jamais de magie. :-°

Mettre les fractions au même dénominateur...

Pour faire le calcul, on doit donc mettre les fractions au même dénominateur. Et c'est tout à fait possible !

Prenez nos deux fractions : $$\frac{6}{4}$$ et $$\frac{3}{8}$$. Vous vous souvenez qu'on peut multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction sans changer sa valeur ?

Je vous avais présenté le principe dans l'introduction aux fractions :

Image utilisateur

Si on multiplie par 2 le numérateur et le dénominateur de $$\frac{6}{4}$$, on obtient la fraction $$\frac{12}{8}$$. Cette fraction est identique, car on a multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre !

Puisque $$\frac{6}{4} = \frac{12}{8}$$, on peut remplacer $$\frac{6}{4}$$ par $$\frac{12}{8}$$ dans notre opération !

$$\color{red}\frac{6}{4}\color{black} + \frac{3}{8} = \color{red}\frac{12}{8}\color{black} + \frac{3}{8}$$

... et calculer !

Maintenant qu'on a réussi à obtenir deux fractions avec le même dénominateur, on peut calculer le résultat comme on a appris à le faire un peu plus tôt :

$$\frac{12}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12 + 3}{8} = \frac{15}{8}$$

Méthode pour mettre les fractions au même dénominateur

Vous n'avez pas compris comment j'ai fait pour mettre les fractions au même dénominateur ? Ok, prenons un autre exemple : $$\frac{5}{2} - \frac{1}{6}$$. Comment devez-vous vous y prendre pour mettre ces fractions au même dénominateur ?

  1. Regardez la fraction qui a le plus petit dénominateur. Ici, c'est $$\frac{5}{2}$$ (car 2 est plus petit que 6).

  2. Multiplication du dénominateur

    Essayez de multiplier ce nombre pour obtenir le plus grand dénominateur :

    Ici, on veut passer de 2 à 6. Pour faire ça, il faut multiplier par 3, car $$2 \times 3 = 6$$

  3. Maintenant que vous savez cela, prenez la fraction qui a le plus petit dénominateur ($$\frac{5}{2}$$) et multipliez son numérateur et son dénominateur par ce nombre : $$\frac{5 \times \color{red}3}{2 \times \color{red}3} = \frac{15}{6}$$.

Et voilà ! On a transformé notre fraction $$\frac{5}{2}$$ en $$\frac{15}{6}$$, on peut maintenant calculer facilement l'opération :

$$\begin{align*}\color{red}\frac{5}{2}\color{black} - \frac{1}{6} &=& \color{red}\frac{15}{6}\color{black} - \frac{1}{6}\\ &=& \frac{15 - 1}{6}\\ &=& \frac{14}{6}\end{align*}$$

A vous de jouer !

Calculez les opérations suivantes. La première est facile, car le dénominateur est le même, et les deux suivantes sont un peu plus difficiles car il faut mettre les fractions au même dénominateur :

  1. $$\frac{6}{4} + \frac{1}{4}$$

  2. $$\frac{3}{4} + \frac{2}{8}$$

  3. $$\frac{9}{10} - \frac{3}{5}$$

Question A

$$\frac{6}{4} + \frac{1}{4}$$

Les deux dénominateurs sont identiques (4). C'est très facile, il suffit d'additionner les numérateurs :

$$\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6 + 1}{4} = \frac{7}{4}$$

Question B

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{8}$$

Les dénominateurs sont différents ! Pas de panique ! On suit la méthode que je vous ai présentée :

  1. On repère la fraction qui a le plus petit dénominateur. C'est $$\frac{3}{4}$$ (car 4 est plus petit que 8).

  2. On cherche un nombre qui permet de passer de 4 à 8 à l'aide d'une multiplication. C'est 2, car $$4 \times 2 = 8$$

  3. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 : $$\frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$$

On a transformé $$\frac{3}{4}$$ en $$\frac{6}{8}$$, on peut maintenant effectuer le calcul !

$$\begin{align*}\color{red}\frac{3}{4}\color{black} + \frac{2}{8} &=& \color{red}\frac{6}{8}\color{black} + \frac{2}{8}\\ &=& \frac{6 + 2}{8}\\ &=& \frac{8}{8}\end{align*}$$

Ce qui fait d'ailleurs 1, comme nous l'avons appris, car le numérateur et le dénominateur sont identiques (8). ;)

Question C

$$\frac{9}{10} - \frac{3}{5}$$

Encore une fois, les dénominateurs sont différents. Pas de chichis, mettez-moi tout ça au même niveau soldat ! :pirate:

  1. La fraction qui a le plus petit dénominateur est $$\frac{3}{5}$$ (car 5 est plus petit que 10).

  2. On cherche un nombre qui permet de passer de 5 à 10 à l'aide d'une multiplication. C'est 2, car $$5 \times 2 = 10$$.

  3. On multiplie le numérateur et le dénominateur par 2 : $$\frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$$

Bingo ! Il ne reste plus qu'à remplacer la fraction et calculer :

$$\begin{align*}\frac{9}{10} - \color{red}\frac{3}{5}\color{black} &=& \frac{9}{10} - \color{red}\frac{6}{10}\color{black}\\ &=& \frac{9 - 6}{10}\\ &=& \frac{3}{10}\end{align*}$$

Multiplier des fractions

La multiplication ? Rien de plus simple !

Les additions et les soustraction sont simples mais demandent un peu de réflexion quand le dénominateur des fractions est différent. Vous vous dites sûrement : "Aïe aïe aïe, qu'est-ce qui m'attend pour la multiplication" ? :waw:

Eh bien non rassurez-vous, multiplier des fractions entre elles, c'est super simple en fait ! Prenons l'exemple suivant :

$$\frac{5}{3} \times \frac{2}{4}$$

Comment faire le calcul ? Il suffit de multiplier les numérateurs et dénominateurs entre eux !

$$\frac{5}{3} \times \frac{2}{4} = \frac{5 \times 2}{3 \times 4} = \frac{10}{12}$$

Trop facile ! :D

Astuce : simplifier les fractions que l'on multiplie

Lorsque vous multipliez des fractions entre elles, vous pouvez les simplifier pour obtenir des nombres moins grands et donc une fraction plus simple.

Prenons cet exemple :

$$\frac{3}{8} \times \frac{2}{5}$$

On pourrait le calculer comme on vient d'apprendre à le faire :

$$\frac{3}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{8 \times 5} = \frac{6}{40}$$

Ce résultat est correct, mais il est possible de trouver une fraction plus simple avec des nombres moins grands. Pour cela, il faut repérer des nombres qui sont identiques entre le numérateur et le dénominateur.

A priori, dans $$\frac{3 \times 2}{8 \times 5}$$, il n'y a pas de nombre identique en haut et en bas... Mais regardez, le 8 peut aussi s'écrire $$2 \times 4$$ :

$$\frac{3 \times 2}{8 \times 5} = \frac{3 \times \color{red}2\color{black}}{\color{red}2\color{black} \times 4 \times 5}$$

On obtient du coup un nombre identique dans le numérateur et le dénominateur. Dans un cas comme ça, on peut supprimer le nombre qu'on retrouve en haut et en bas ! Oui oui ! Ca nous donne :

$$\usepackage{cancel}\frac{3 \times \color{red}2\color{black}}{\color{red}2\color{black} \times 4 \times 5} = \frac{3 \times \color{red}\cancel{2}\color{black}}{\color{red}\cancel{2}\color{black} \times 4 \times 5} = \frac{3}{4 \times 5} = \frac{3}{20}$$

Les calculs sont plus simples à faire si on simplifie la fraction avant. :)

A vous de jouer !

Calculez :

  1. $$\frac{3}{7} \times \frac{5}{2}$$

  2. $$\frac{11}{3} \times \frac{3}{5}$$ (et essayez de simplifier avant de calculer)

  3. $$\frac{9}{4} \times \frac{2}{5}$$ (et essayez de simplifier avant de calculer)

Question A

$$\frac{3}{7} \times \frac{5}{2}$$

On multiplie les numérateurs et dénominateurs entre eux :

$$\frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14}$$

Question B

$$\frac{11}{3} \times \frac{3}{5}$$

On se prépare à multiplier les fractions :

$$\frac{11}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{11 \times 3}{3 \times 5}$$

... Et on voit qu'on peut simplifier car il y a un 3 en haut et en bas de la fraction.

$$\frac{11 \times \color{red}3\color{black}}{\color{red}3\color{black} \times 5}$$

On peut donc retirer ce 3 en haut et en bas, et on obtient :

$$\frac{11}{5}$$

Question C

$$\frac{9}{4} \times \frac{2}{5}$$

Même principe, on va multiplier les numérateurs et dénominateurs entre eux :

$$\frac{9}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{9 \times 2}{4 \times 5}$$

... mais avant d'aller plus loin, on voit qu'on peut simplifier. En effet, 4 peut aussi s'écrire $$2 \times 2$$ :

$$\frac{9 \times \color{red}2\color{black}}{\color{red}2\color{black} \times 2 \times 5}$$

Comme on retrouve le même nombre en haut et en bas de la fraction, on peut le retirer pour simplifier :

$$\frac{9}{2 \times 5}$$

On peut maintenant finir de calculer l'opération :

$$\frac{9}{2 \times 5} = \frac{9}{10}$$

Comparer des fractions

Comparer des fractions entre elles est vraiment simple, mais il faut connaître la règle de base (qui est la même que pour l'addition) : les dénominateurs doivent être égaux. Si les dénominateurs sont égaux, alors il suffit de comparer les numérateurs entre eux pour savoir quelle fraction est la plus grande.

Quand les dénominateurs sont égaux

Essayons de comparer $$\frac{3}{7}$$ et $$\frac{5}{7}$$.

Les dénominateurs sont égaux, on peut comparer les numérateurs entre eux : $$3 < 5$$. Cela veut donc dire que $$\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$$. C'est aussi simple que ça !

Quand les dénominateurs sont différents

On ne peut pas comparer des fractions dont le dénominateur est différent. Il faut ramener les fractions au même dénominateur, comme on a appris à le faire pour l'addition et la soustraction.

Essayons de comparer $$\frac{5}{12}$$ et $$\frac{2}{3}$$.

Ces fractions ont un dénominateur différent, changeons cela :

  1. La fraction qui a le plus petit dénominateur est $$\frac{2}{3}$$

  2. Pour transformer 3 en 12, on doit multiplier par 4 ($$3 \times 4 = 12$$)

  3. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par 4 : $$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$$

Parfait ! On peut comparer $$\frac{5}{12}$$ et $$\frac{8}{12}$$ : il suffit de comparer les numérateurs. $$5 < 8$$, donc $$\frac{5}{12} < \color{red}\frac{8}{12}$$

Pour bien répondre à la question, on va remplacer $$\frac{8}{12}$$ par sa fraction équivalente dans l'énoncé ($$\frac{2}{3}$$). La réponse est donc : $$\frac{5}{12} < \color{red}\frac{2}{3}$$

A vous de jouer !

Comparez ces fractions entre elles :

  1. $$\frac{6}{5}$$ et $$\frac{4}{5}$$

  2. $$\frac{2}{3}$$ et $$\frac{5}{9}$$

  3. $$\frac{7}{2}$$ et $$\frac{10}{4}$$

Question A

$$\frac{6}{5} > \frac{4}{5}$$

Il suffisait de comparer les numérateurs entre eux.

Question B

Comparer : $$\frac{2}{3}$$ et $$\frac{5}{9}$$

Pour comparer ces fractions dont le dénominateur est différent, il faut les mettre au même dénominateur. $$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$$

$$\frac{6}{9} > \frac{5}{9}$$

Donc, $$\frac{2}{3} > \frac{5}{9}$$

Question C

Comparer : $$\frac{7}{2}$$ et $$\frac{10}{4}$$

On met les fractions au même dénominateur : $$\frac{7}{2} = \frac{7 \times 2}{2 \times 2} = \frac{14}{4}$$

$$\frac{14}{4} > \frac{10}{4}$$

Donc :

$$\frac{7}{2} > \frac{10}{4}$$

Vous savez maintenant faire de nombreux calculs avec les fractions, bravo !
Retenez bien ce que vous avez appris dans ce chapitre, vous en aurez besoin pendant très très longtemps. ;)

Ce cours n'en est qu'à ses débuts ! Son ambition est de couvrir les mathématiques du niveau 6ème au niveau Terminale.
Je projette de donner la priorité à l'algèbre (nombres, calculs...) et l'analyse (fonctions...) dans un premier temps. Je laisserai de côté la géométrie pour commencer, mais je compte bien compléter le cours par la suite dans ce domaine.

Ce cours est ouvert à toutes les remarques constructives. Je ne prétends pas avoir trouvé la meilleure méthode, je suis bel et bien ouvert aux idées.
Si vous êtes élève ou professeur, des retours d'expérience me seraient très utiles. N'hésitez pas à commenter le cours et à raconter vos anecdotes :

  • Elèves : ce cours vous a-t-il aidé à réussir un devoir ? Votre moyenne a-t-elle augmenté ? Comprenez-vous mieux ici que sur votre manuel ? Y a-t-il de grosses différences par rapport au cours de votre professeur ?

  • Professeurs : le cours est-il bien en adéquation avec le niveau des élèves ? Utilisez-vous parfois des méthodes différentes pour expliquer certains concepts ? Avez-vous utilisé des morceaux de ce cours pour construire vos propres cours (allez-y, vous avez le droit) ? Quels sont les retours des élèves ?

Pour en parler, je vous invite à discuter dans ce sujet des forums que j'ai créé. Merci !

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