Additionner et soustraire des fractions

Difficulté Facile
Note
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Mis à jour le jeudi 5 décembre 2013

On peut faire tous types de calculs avec les fractions. Après tout, ce sont des nombres, alors pourquoi ne pourrait-on pas les additionner ou les soustraire entre elles ?

$$\frac{3}{4} + \frac{7}{2} = \text{?}$$

Il y a quand même des règles à respecter pour pouvoir faire une addition (ou une soustraction) entre deux fractions. Il va falloir être attentif au dénominateur (le nombre en bas !) des deux fractions, car celui-ci doit être identique pour qu'on puisse effectuer le calcul !

Quand le dénominateur des deux fractions est identique

Exemple d'addition

Quand vous devez additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur, c'est le cas le plus simple. Par exemple :

$$\frac{3}{5} + \frac{1}{5}$$

Regardez bien les dénominateurs de l'opération. Ils sont identiques ? Oui, c'est le nombre 5 pour les deux fractions. Parfait, on peut continuer.

Dénominateurs identiques

Dans ce cas, vous rassemblez les deux fractions en conservant le même dénominateur, et additionnez les numérateurs :

$$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3 + 1}{5} = \frac{4}{5}$$

Le résultat est donc $$\frac{4}{5}$$.

Comme vous le voyez, le dénominateur reste le même. On fait juste une addition entre les numérateurs.

Exemple de soustraction

Pour soustraire deux fractions, c'est le même principe. Si le dénominateur est identique (et uniquement dans ce cas !), vous pouvez soustraire les numérateurs.

Par exemple, si on veut calculer :

$$\frac{6}{9} - \frac{2}{9}$$

On garde le même dénominateur, et on soustrait les numérateurs entre eux :

$$\frac{6}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6 - 2}{9} = \frac{4}{9}$$

Quand le dénominateur des deux fractions est différent

Quand le dénominateur est différent, par contre, aïe aïe aïe ! Vous ne pourrez pas calculer immédiatement l'addition (ou la soustraction).

$$\frac{6}{4} + \frac{3}{8} = \text{?}$$

Dans ce cas, les dénominateurs sont différents : il y a un 4 et un 8 !

Dénominateurs différents

Pas le choix : il faut trouver un moyen de rendre les dénominateurs égaux, sinon on ne pourra pas faire le calcul !

Comment on fait pour rendre les dénominateurs identiques ? C'est de la magie ? :magicien:

Mais non mais non. En maths, il n'y a jamais de magie. :-°

Mettre les fractions au même dénominateur...

Pour faire le calcul, on doit donc mettre les fractions au même dénominateur. Et c'est tout à fait possible !

Prenez nos deux fractions : $$\frac{6}{4}$$ et $$\frac{3}{8}$$. Vous vous souvenez qu'on peut multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction sans changer sa valeur ?

Je vous avais présenté le principe dans l'introduction aux fractions :

Image utilisateur

Si on multiplie par 2 le numérateur et le dénominateur de $$\frac{6}{4}$$, on obtient la fraction $$\frac{12}{8}$$. Cette fraction est identique, car on a multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre !

Puisque $$\frac{6}{4} = \frac{12}{8}$$, on peut remplacer $$\frac{6}{4}$$ par $$\frac{12}{8}$$ dans notre opération !

$$\color{red}\frac{6}{4}\color{black} + \frac{3}{8} = \color{red}\frac{12}{8}\color{black} + \frac{3}{8}$$

... et calculer !

Maintenant qu'on a réussi à obtenir deux fractions avec le même dénominateur, on peut calculer le résultat comme on a appris à le faire un peu plus tôt :

$$\frac{12}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12 + 3}{8} = \frac{15}{8}$$

Méthode pour mettre les fractions au même dénominateur

Vous n'avez pas compris comment j'ai fait pour mettre les fractions au même dénominateur ? Ok, prenons un autre exemple : $$\frac{5}{2} - \frac{1}{6}$$. Comment devez-vous vous y prendre pour mettre ces fractions au même dénominateur ?

  1. Regardez la fraction qui a le plus petit dénominateur. Ici, c'est $$\frac{5}{2}$$ (car 2 est plus petit que 6).

  2. Multiplication du dénominateur

    Essayez de multiplier ce nombre pour obtenir le plus grand dénominateur :

    Ici, on veut passer de 2 à 6. Pour faire ça, il faut multiplier par 3, car $$2 \times 3 = 6$$

  3. Maintenant que vous savez cela, prenez la fraction qui a le plus petit dénominateur ($$\frac{5}{2}$$) et multipliez son numérateur et son dénominateur par ce nombre : $$\frac{5 \times \color{red}3}{2 \times \color{red}3} = \frac{15}{6}$$.

Et voilà ! On a transformé notre fraction $$\frac{5}{2}$$ en $$\frac{15}{6}$$, on peut maintenant calculer facilement l'opération :

$$\begin{align*}\color{red}\frac{5}{2}\color{black} - \frac{1}{6} &=& \color{red}\frac{15}{6}\color{black} - \frac{1}{6}\\ &=& \frac{15 - 1}{6}\\ &=& \frac{14}{6}\end{align*}$$

A vous de jouer !

Calculez les opérations suivantes. La première est facile, car le dénominateur est le même, et les deux suivantes sont un peu plus difficiles car il faut mettre les fractions au même dénominateur :

  1. $$\frac{6}{4} + \frac{1}{4}$$

  2. $$\frac{3}{4} + \frac{2}{8}$$

  3. $$\frac{9}{10} - \frac{3}{5}$$

Question A

$$\frac{6}{4} + \frac{1}{4}$$

Les deux dénominateurs sont identiques (4). C'est très facile, il suffit d'additionner les numérateurs :

$$\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6 + 1}{4} = \frac{7}{4}$$

Question B

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{8}$$

Les dénominateurs sont différents ! Pas de panique ! On suit la méthode que je vous ai présentée :

  1. On repère la fraction qui a le plus petit dénominateur. C'est $$\frac{3}{4}$$ (car 4 est plus petit que 8).

  2. On cherche un nombre qui permet de passer de 4 à 8 à l'aide d'une multiplication. C'est 2, car $$4 \times 2 = 8$$

  3. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 : $$\frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$$

On a transformé $$\frac{3}{4}$$ en $$\frac{6}{8}$$, on peut maintenant effectuer le calcul !

$$\begin{align*}\color{red}\frac{3}{4}\color{black} + \frac{2}{8} &=& \color{red}\frac{6}{8}\color{black} + \frac{2}{8}\\ &=& \frac{6 + 2}{8}\\ &=& \frac{8}{8}\end{align*}$$

Ce qui fait d'ailleurs 1, comme nous l'avons appris, car le numérateur et le dénominateur sont identiques (8). ;)

Question C

$$\frac{9}{10} - \frac{3}{5}$$

Encore une fois, les dénominateurs sont différents. Pas de chichis, mettez-moi tout ça au même niveau soldat ! :pirate:

  1. La fraction qui a le plus petit dénominateur est $$\frac{3}{5}$$ (car 5 est plus petit que 10).

  2. On cherche un nombre qui permet de passer de 5 à 10 à l'aide d'une multiplication. C'est 2, car $$5 \times 2 = 10$$.

  3. On multiplie le numérateur et le dénominateur par 2 : $$\frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$$

Bingo ! Il ne reste plus qu'à remplacer la fraction et calculer :

$$\begin{align*}\frac{9}{10} - \color{red}\frac{3}{5}\color{black} &=& \frac{9}{10} - \color{red}\frac{6}{10}\color{black}\\ &=& \frac{9 - 6}{10}\\ &=& \frac{3}{10}\end{align*}$$

L'auteur