B - La gravitation universelle

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Mis à jour le jeudi 5 décembre 2013
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Les planètes tournent donc autour du Soleil. D'accord. Mais pourquoi ?

Isaac Newton, dont je vous ai déjà parlé plusieurs fois, se posait cette question. Il se demandait aussi pourquoi la Lune tournait autour de la Terre. Voltaire raconte, sans que l'on sache trop si cette anecdote est véridique, que c'est en se reposant sous un pommier, et en observant la chute d'une pomme, que Newton aurait élucidé ce mystère.

Il aurait alors compris que la force qui fait tourner la Lune autour de la Terre est exactement la même que celle qui fait tomber une pomme sur le sol : la force de gravité.

Mais comment c'est possible ? :o La Lune ne tombe pas sur la Terre !

Oh que si, elle tombe ! Elle tombe sur la Terre depuis plus de quatre milliards d'années et elle pourrait continuer ainsi à tomber éternellement, sans jamais atteindre le sol.

Pardon ? o_O

Lorsqu'on lâche un objet au dessus du sol, une pomme par exemple, sans lui donner la moindre vitesse initiale, il tombe verticalement. Soit. Mais si on lui donne une petite vitesse initiale horizontale, il va tomber un peu plus loin, avec une trajectoire en forme de parabole. Imaginons maintenant qu'on lui donne une très grande vitesse initiale, il tombera beaucoup plus loin (trajectoire n°2) :

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Avec une énorme vitesse initiale, il peut même faire le tour complet de la planète et tourner indéfiniment sans jamais atteindre le sol (trajectoire n°3). Et en le lançant encore plus fort, il peut carrément vaincre la gravité et partir dans l'espace (trajectoire n°4).

L'interaction gravitationnelle est générée par la masse des objets. C'est l'une des 4 interactions fondamentales de l'Univers. Les 3 autres sont :

  • L'interaction électromagnétique.

  • L'interaction nucléaire forte (qui permet à des protons, tous positifs, de cohabiter dans un même noyau).

  • L'interaction nucléaire faible (responsable de la radioactivité).

À partir du moment où deux objets ont une masse (ce qui arrive assez souvent ;) ), ils exercent l'un sur l'autre une force d'attraction gravitationnelle. Je vous rappelle qu'une force est un vecteur : elle a un point d'application, une direction, un sens, une norme, et se représente par une flèche.

Sur ce schéma, A et B sont deux objets quelconques, de masses respectives $$m_A$$ et $$m_B$$. Leurs centres de gravités sont séparés par la distance r.

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La force de gravité exercée par A sur B a exactement la même intensité que celle que B exerce sur A, mêmes si leurs masses sont très différentes. Et voici la formule permettant de calculer cette intensité :

$$F_{A/B}=F_{B/A}=G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{r^2}$$

  • F est l'intensité de chaque force. Exprimée en newtons (N).

  • G est la constante gravitationnelle. Exprimée en unités du Système International (uSI)

  • $$m_A$$ et $$m_B$$ sont les masses des deux corps. Exprimées en kilogrammes (kg).

  • r est la distance entre les centres de gravité des deux corps. Exprimée en mètres (m).

Pour être exact, l'unité de G est le newton mètre carré par kilogramme carré ($$N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$$). Mais comme elle est un peu compliquée, je ne vais pas vous demander de la retenir. Contentons-nous de dire qu'on exprime G dans l'unité du Système International (uSI).

G est une constante universelle : la constante gravitationnelle. Sa valeur est la même partout dans l'Univers : $$6,67 \cdot 10^{-11}\ uSI$$.

N'importe quel objet ayant une masse exerce et ressent cette force. Calculons, par exemple, la force d'attraction gravitationnelle exercée par Roméo sur Juliette (et vice-versa) ;) .

Supposons $$m_{Romeo} = 70\ kg$$, $$m_{Juliette} = 55\ kg$$ et $$r = 4,0\ m$$. Allez-y. Faites le calcul.

$$F_{Romeo/Juliette}=F_{Juliette/Romeo}=G \cdot \frac{m_{Romeo} \cdot m_{Juliette}}{r^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac {70 \cdot 55}{4,0^2} = 1,6 \cdot 10^{-8}\ N$$

Autrement dit, 16 milliardièmes de newton : une force vraiment négligeable. Il semblerait que l'attraction unissant Romeo et Juliette ne soit pas, tout compte fait, d'origine gravitationnelle. :D

N'importe quel objet ayant une masse exerce et ressent la force de gravité mais vous voyez qu'à l'échelle humaine, elle est vraiment négligeable. Pour qu'elle intervienne réellement, il faut que l'un au moins des deux corps soit beaucoup plus massif. Massif comme... une planète.

Calculons, par exemple, la force exercée par Jupiter sur Io, son plus proche satellite.

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Io

  • $$m_{Io} = 8,93 \cdot 10^{22}\ kg$$

  • $$m_{Jupiter} = 1,90 \cdot 10^{27}\ kg$$

  • $$r = 422 \cdot 10^3\ km$$

La première chose à faire est de vérifier les unités. Là, on s'aperçoit que r doit être converti en mètres : $$r = 422 \cdot 10^3\ km = 4,22 \cdot 10^8 \ m$$

Donc :

$$F_{Io/Jupiter}=F_{Jupiter/Io}=G \cdot \frac{m_{Io} \cdot m_{Jupiter}}{r^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac {8,93 \cdot 10^{22} \cdot 1,90 \cdot 10^{27}}{(4,22 \cdot 10^8)^2} = \frac{113 \cdot 10^{38}}{17,8 \cdot 10^{16}}= 6,35 \cdot 10^{22}\ N$$

C'est donc, cette fois-ci, une force considérable qui fait tomber Io sur Jupiter. Mais comme Io dispose d'une colossale vitesse horizontale, elle continuera à tomber jusqu'à la fin du Système solaire, sans jamais rejoindre le sol gazeux de Jupiter .

L'auteur