Le monde des polygones

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Mis à jour le lundi 22 avril 2013

Avant de concentrer notre étude sur les triangles, nous allons commencer par une classe plus vaste de figures géométriques.

Les polygones

Les polygones forment une famille de figures très utilisées en géométrie. Leur définition est toute simple : un polygone est une chaîne de segments qui se referme sur elle même. Voici quelques exemples :

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Notez qu'il n'est pas interdit que les segments se coupent entre eux. On parle dans ce cas de polygones croisés :

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Il est possible de classer les polygones selon leur nombre de côtés (ou leur nombre d'angles, le résultat est le même). Le nom est alors composé de la racine grecque du nombre de côtés, suivit du suffixe -gone. Par exemple, le nombre 5 se dit pente (ou plus précisément πέντε en alphabet grec), un polygone à 5 côtés s'appelle donc un pentagone. Élémentaire, n'est-ce pas ?

Voici les dix premiers noms de polygones :

Nombre de côtés

Nom

Exemple

1

Hénagone

ou monogone

N'existe pas

2

Digone

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3

Trigone

ou triangle

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4

Tétragone

ou quadrilatère

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5

Pentagone

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6

Hexagone

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7

Heptagone

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8

Octogone

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9

Ennéagone

ou nonagone

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10

Décagone

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On pourrait continuer comme ça pendant longtemps : un icosagone a 20 côtés, un hectogone en a 100, un chiliogone en a 1000 et un myriagone 10000.

Hénagonométrie et Digonométrie

Quand on commence à étudier quelque chose, il semble raisonnable de débuter par le plus facile avant de s'attaquer ensuite aux points les plus compliqués. Dans l'étude des polygones, les plus simples sont ceux qui ont le moins de côtés.

Comme nous venons de le voir, les hénagones (ou polygones à un seul côté) n'existent pas. Inutile donc d'essayer de les étudier : l'hénagonométrie n'existe pas.

Viennent ensuite les digones. Cette fois ils existent bien, mais leur étude n'est vraiment pas passionnante. Un digone, c'est simplement deux segments de même longueur superposés. Ainsi la seule chose qui peut varier dans un digone, c'est sa longueur. Son aire est toujours égale à 0 et ses deux angles mesurent également 0°. Bref, la digonométrie, on en a vite fait le tour ! :-°

Trigonométrie

Les choses commencent à devenir vraiment intéressantes quand on arrive à trois côtés ! Comme son nom l'indique la trigonométrie est l'étude des mesures des trigones, plus communément appelés triangles.

Un trigone ou triangle
Un trigone ou triangle

Dans un triangle, on a six paramètres qui peuvent varier : trois côtés et trois angles.

Cependant, tous ces paramètres ne sont pas indépendants. Par exemple, le triangle est totalement déterminé par les longueurs de ses trois côtés : si je vous dis que les côtés d'un triangle mesurent 3, 4 et 5 alors plus moyen de faire varier les angles. Mais alors combien valent-ils ? Voilà le genre de questions auxquelles on aimerait bien savoir répondre.

Tout l'art de la trigonométrie consiste à jongler entre ces six paramètres et à savoir retrouver les uns à partir des autres. C'est ce que nous commencerons à faire dès la deuxième partie de ce chapitre.

Triangulons !

Et ensuite ? Une fois que nous aurons étudié la trigonométrie, passerons-nous à la tétragonométrie ? Puis à la pentagonométrie, à l'hexagonométrie... ? Et peut-être un jour à la myriagonométrie !?!

Non, non rassurez vous nous ne ferons pas ça. :p Toute la puissance de la trigonométrie réside dans le fait qu'elle permet également de s'attaquer à des figures bien plus complexes que les triangles. N'importe quel polygone, quelque soit son nombre de côtés, est décomposable en une multitude de petits triangles. On appelle cela une triangulation.

Triangulation d'un polygone
Triangulation d'un polygone

Ainsi, lorsque vous maîtriserez parfaitement l'art de la trigonométrie, vous serez à même d'étudier n'importe quel polygone en le découpant en triangles et en étudiant ces triangles séparément. Si vous voulez par exemple connaître l'aire du polygone, il suffit de calculer les aires de chacun des petits triangles et de faire une addition à la fin.

Triangulation de la France au XIXe siècleTriangulation de la France au XIXe siècle

La trigonométrie ne se borne donc pas à l'étude des triangles, elle nous offre une clé formidablement puissante qui permet de démêler un très grand nombre d'autres problèmes géométriques. « Où sont les triangles ? » devrait être la première question que se pose tout apprenti géomètre devant une construction géométrique ! Pensez-y. ;)

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