La géométrie plane

La géométrie plane

Mis à jour le lundi 22 avril 2013
  • 4 semaines
  • Moyen

Parmi toutes les figures géométriques, les triangles sont les plus chanceux car une branche entière de la géométrie est consacrée à leur étude : la trigonométrie.

Mais quel est l'intérêt d'étudier plus particulièrement les triangles ? Qu'ont-ils de plus que les autres figures pour mériter cet honneur ? Quelles sont leurs propriétés particulières ?

Voici les questions auxquelles ce chapitre va répondre.

Le monde des polygones

Avant de concentrer notre étude sur les triangles, nous allons commencer par une classe plus vaste de figures géométriques.

Les polygones

Les polygones forment une famille de figures très utilisées en géométrie. Leur définition est toute simple : un polygone est une chaîne de segments qui se referme sur elle même. Voici quelques exemples :

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Notez qu'il n'est pas interdit que les segments se coupent entre eux. On parle dans ce cas de polygones croisés :

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Il est possible de classer les polygones selon leur nombre de côtés (ou leur nombre d'angles, le résultat est le même). Le nom est alors composé de la racine grecque du nombre de côtés, suivit du suffixe -gone. Par exemple, le nombre 5 se dit pente (ou plus précisément πέντε en alphabet grec), un polygone à 5 côtés s'appelle donc un pentagone. Élémentaire, n'est-ce pas ?

Voici les dix premiers noms de polygones :

Nombre de côtés

Nom

Exemple

1

Hénagone

ou monogone

N'existe pas

2

Digone

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3

Trigone

ou triangle

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4

Tétragone

ou quadrilatère

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5

Pentagone

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6

Hexagone

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7

Heptagone

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8

Octogone

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9

Ennéagone

ou nonagone

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10

Décagone

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On pourrait continuer comme ça pendant longtemps : un icosagone a 20 côtés, un hectogone en a 100, un chiliogone en a 1000 et un myriagone 10000.

Hénagonométrie et Digonométrie

Quand on commence à étudier quelque chose, il semble raisonnable de débuter par le plus facile avant de s'attaquer ensuite aux points les plus compliqués. Dans l'étude des polygones, les plus simples sont ceux qui ont le moins de côtés.

Comme nous venons de le voir, les hénagones (ou polygones à un seul côté) n'existent pas. Inutile donc d'essayer de les étudier : l'hénagonométrie n'existe pas.

Viennent ensuite les digones. Cette fois ils existent bien, mais leur étude n'est vraiment pas passionnante. Un digone, c'est simplement deux segments de même longueur superposés. Ainsi la seule chose qui peut varier dans un digone, c'est sa longueur. Son aire est toujours égale à 0 et ses deux angles mesurent également 0°. Bref, la digonométrie, on en a vite fait le tour ! :-°

Trigonométrie

Les choses commencent à devenir vraiment intéressantes quand on arrive à trois côtés ! Comme son nom l'indique la trigonométrie est l'étude des mesures des trigones, plus communément appelés triangles.

Un trigone ou triangle
Un trigone ou triangle

Dans un triangle, on a six paramètres qui peuvent varier : trois côtés et trois angles.

Cependant, tous ces paramètres ne sont pas indépendants. Par exemple, le triangle est totalement déterminé par les longueurs de ses trois côtés : si je vous dis que les côtés d'un triangle mesurent 3, 4 et 5 alors plus moyen de faire varier les angles. Mais alors combien valent-ils ? Voilà le genre de questions auxquelles on aimerait bien savoir répondre.

Tout l'art de la trigonométrie consiste à jongler entre ces six paramètres et à savoir retrouver les uns à partir des autres. C'est ce que nous commencerons à faire dès la deuxième partie de ce chapitre.

Triangulons !

Et ensuite ? Une fois que nous aurons étudié la trigonométrie, passerons-nous à la tétragonométrie ? Puis à la pentagonométrie, à l'hexagonométrie... ? Et peut-être un jour à la myriagonométrie !?!

Non, non rassurez vous nous ne ferons pas ça. :p Toute la puissance de la trigonométrie réside dans le fait qu'elle permet également de s'attaquer à des figures bien plus complexes que les triangles. N'importe quel polygone, quelque soit son nombre de côtés, est décomposable en une multitude de petits triangles. On appelle cela une triangulation.

Triangulation d'un polygone
Triangulation d'un polygone

Ainsi, lorsque vous maîtriserez parfaitement l'art de la trigonométrie, vous serez à même d'étudier n'importe quel polygone en le découpant en triangles et en étudiant ces triangles séparément. Si vous voulez par exemple connaître l'aire du polygone, il suffit de calculer les aires de chacun des petits triangles et de faire une addition à la fin.

Triangulation de la France au XIXe siècleTriangulation de la France au XIXe siècle

La trigonométrie ne se borne donc pas à l'étude des triangles, elle nous offre une clé formidablement puissante qui permet de démêler un très grand nombre d'autres problèmes géométriques. « Où sont les triangles ? » devrait être la première question que se pose tout apprenti géomètre devant une construction géométrique ! Pensez-y. ;)

Des côtés et des angles

Nous venons de voir pourquoi l'étude des triangles est primordiale en géométrie. Dans cette partie nous allons nous poser la question suivante : quelles sont les informations nécessaires pour connaître parfaitement un triangle ?

Si par exemple je vous dis qu'un triangle possède un côté égal à 3 et un autre égal à 5, ce n'est pas suffisant car il existe de nombreux triangles comme ceci.

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Si en revanche je rajoute que l'angle entre ces deux côtés mesure 60°, alors là tout se dégage, il ne reste plus qu'un seul triangle possible.

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Les trois informations

Un triangle, c'est six informations : trois longueurs de côtés et trois mesures d'angles. La règle est alors grosso modo la suivante : pour déterminer un triangle, il faut connaître trois informations parmi les six.

Cette règle a l'air toute simple mais il faut tout de même s'en méfier car en réalité vous allez voir que son application possède quand même quelques subtilités. Nous allons maintenant faire un petit tour d'horizon des possibilités.

Trois côtés

Commençons par le cas le plus simple : celui où nous connaissons les longueurs des trois côtés du triangle. Considérons par exemple un triangle ABC dont les côtés AB, AC et BC mesurent respectivement 8, 5 et 7.

Tout d'abord, traçons le segment AB de longueur 8.

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Puisque AC mesure 5, cela signifie que le point C se trouve sur le cercle de centre A et de rayon égal à 5. De même, le point C se trouve sur le cercle de centre B et de rayons égal à 7.

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Le point C se trouve donc à l'intersection des deux cercles. Nous voyons sur la figure qu'il y a deux intersections, mais cela n'a pas d'importance car les deux triangles obtenus de cette façon sont les mêmes (ou plus précisément ils sont miroir l'un de l'autre comme dans l'exemple ci-dessus).

La forme du triangle est donc entièrement déterminée par ses trois côtés.

L'inégalité triangulaire

Il faut toutefois se méfier d'un piège : étant données trois longueurs quelconques, il n'existe pas forcément de triangle dont les côtés ont ces longueurs.

Par exemple, il n'existe pas de triangle donc les côtés mesurent 2, 4 et 8. La raison est simple : le côté de longueur 8 est trop grand pour que les côtés de longueur 2 et 4 puissent se rejoindre.

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La construction que nous avons faites ci-dessus pour le triangle 5-7-8 ne marche plus car les deux cercles sont trop petits et ne s'intersectent pas.

La règle pour qu'un triangle ayant trois côtés donnés existe est donc la suivante : il faut que chaque côté soit plus petit que la somme des deux autres. Autrement dit, dans un triangle quelconque ABC, les trois inégalités suivantes sont toujours vérifiées :

\left\{\begin{array}{l}AB\leq AC+BC~;\\ AC\leq AB+BC~;\\BC\leq AB+AC.\\\end{array} ight.

Cette propriété porte le nom d'inégalité triangulaire.

Trois angles

Passons au cas des trois angles.

À votre avis, est-il possible de reconstituer entièrement un triangle en connaissant ses angles ? Prenez garde avant de répondre, il y a un piège. :-°

Si on s'en tient à la règle des trois informations vous avez certainement envie de répondre oui. Et pourtant pensez aux triangles semblables : si vous regardez plusieurs triangles semblables de tailles différentes, ils ont tous les mêmes angles, mais pas les même côtés.

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Il n'est donc pas possible de déterminer les côtés uniquement à partir de angles.

Mais alors la règle des trois informations est fausse ?

Pas tout à fait. Mais avant de vous expliquer pourquoi, il nous faut nous pencher sur une propriété étonnante des angles d'un triangle.

La somme des angles

La somme des trois angles d'un triangle vaut 180°, c'est-à-dire un angle d'un demi-tour. Pour comprendre ceci, regardons le triangle suivant.

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Prenons maintenant plusieurs copies de ce triangle et disposons-les de la façon suivante.

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Les triangles qui sont à l'envers sur cette figure sont bien les même que ceux de départ : cela vient tout simplement du fait que les longueurs de leurs trois côtés sont les mêmes. La propriété apparaît alors comme évidente : les angles bleus, jaunes et rouges se regroupent par trois pour former des angles plats de 180°.

Ce résultat est réellement une des propriétés fondamentales du triangle ! Souvenez-vous en nous aurons à nous en resservir.

Revenons à présent à notre règle des trois informations. Imaginez que je vous donne les informations suivantes sur un triangle :

  • Information 1. L'un des angles mesure 40°.

  • Information 2. L'un des angles mesure 60°. Alors, comme la somme fait 180°, vous pouvez aussitôt en déduire que le troisième angle mesure 80°.

  • Information 3. L'un des angles mesure 80°. Eh, mais ce n'est pas une information ça ! Vous le savez déjà.

Vous avez compris l'idée ? Donner les trois angles d'un triangle ce n'est pas donner trois informations car il y a une information qui est répétée. En clair, il faut que les renseignements donnés sur le triangle soient indépendants, si l'une des informations peut se déduire des autres, ça ne marche pas. Je vous avais prévenu que c'était un peu subtil. :-°

Mélangeons les angles et les côtés

Bien maintenant voyons voir ce qui se passe si on mélange un peu les informations.

Deux angles et un côté

Tout d'abord, si nous disposons de deux angles et d'un côté. Dans ce cas, tout est facile car grâce à la somme des trois angles on peut tout de suite en déduire la valeur du troisième angle.

Il suffit alors de tracer les deux angles qui se trouvent aux extrémités du côté que nous avons, puis de prolonger les deux côtés inconnus jusqu'à ce qu'ils se croisent pour retrouver le triangle.

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Deux côtés et un angle

Si nous disposons de deux côtés et d'un angle c'est un peu plus subtil. Il y a deux configurations possibles.

Configuration 1. L'angle donné est celui qui se trouve entre les deux côtés donnés. Dans ce cas, le triangle se reconstitue immédiatement :

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Configuration 2. L'angle donné ne se trouve pas entre les deux côtés donnés. C'est l'exception à notre règle. Dans ce cas, on peut tracer celui de nos deux côtés qui côtoie l'angle. Le troisième sommet du triangle se trouve alors sur le cercle centré en l'autre extrémité du premier côté et ayant pour rayon la longueur du second.

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Vous constatez alors qu'il y a deux triangles qui satisfont les conditions. Bon, c'est déjà pas mal, au départ, il y a une infinité de triangles possibles et il n'en reste plus que deux. Souvent le contexte fait qu'il est en réalité facile de déterminer lequel des deux est celui que l'on cherche.

Remarquez que si dans la construction précédente le cercle est juste tangent au côté de façon à ce qu'il n'y ait qu'un seul point d'intersection, alors il n'y a plus qu'un seul triangle et pas d'ambiguïté.

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Dans ce cas, le triangle est rectangle et ça tombe bien puisque c'est justement à ces triangles que nous allons nous intéresser dans le chapitre suivant.

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