Les intégrales

Difficulté Facile
Note
Thématiques
Mis à jour le vendredi 6 décembre 2013

Préambule technique

À partir de ce paragraphe, les choses se compliquent un peu (mais pas beaucoup, rassurez-vous). Vous allez faire cohabiter dans vos expressions des symboles tels que des intégrales, des fonctions et plein d'autres petites choses bien sympathiques. Le problème auquel vous aurez à faire face est qu'à force de tout mélanger, vous finirez par ne plus vraiment savoir quels packages appeler.

Alors, soyons simples et allons-y comme des brutes ! Nous allons tout simplement appeler dès le préambule les trois principaux packages nécessaires à l'écriture d'expressions scientifiques, et nous n'aurons plus à nous soucier du package auquel nous faisons appel pour utiliser l'un ou l'autre symbole (Vous imaginez une table de 300 symboles avec à côté de chacun le nom du package ? Ce serait tout simplement ignoble.). Ici, je les ai classés par ordre alphabétique, mais cela n'a strictement aucune importance à notre niveau (Dans une utilisation plus avancée de LaTeX, les modifications apportées par les packages sur les commandes peuvent interférer entre elles (deux packages qui définissent la même commande, par exemple). Généralement, le dernier package introduit a le dernier mot. Ici, nous ne nous intéressons pas à ces cas atypiques.).

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}

Souvent, vous tomberez sur des documentations indiquant des commandes LaTeX sans préciser les packages qui les fournissent. Ces trois-là devraient vous sortir de bien des situations désagréables.

Intégrales et expressions plus complexes

Les commandes simples ayant été introduites, nous allons apprendre à construire des expressions un peu plus ambitieuses. Nous allons maintenant nous pencher sur la rédaction de formules comportant des intégrales (simples, doubles, triples et même plus !), des sommes ou des produits.

Un exemple étant beaucoup plus facile à comprendre qu'un long discours, j'ai dressé pour vous une liste vous présentant des formules générales ainsi que des utilisations de celles-ci. Vous serez confronté à la commande \ suivie d'une espace : elle sert simplement à insérer une espace dans un environnement mathématique.

Intégrale simple

Modèle

\[\int {contenu}\]
\[\int_{borne inférieure}^{borne supérieure} {contenu}\]
\[\int \limits_{borne inférieure}^{borne supérieure} {contenu}\]

Démonstration

\[\int {x^2 dx}\]
\[\int_{1}^{3} {x^2 dx}\]
\[\int \limits_{1}^{3} {x^2 dx}\]
Intégrale simple
Intégrale simple

Intégrale sur une courbe fermée

Modèle

\[\oint {contenu}\]

Démonstration

\[\oint {x^2\ dx}\]
Intégrale curviligne
Intégrale curviligne

Symbole de la somme

Modèle

\[\sum_{en dessous}^{au dessus} contenu\]

Démonstration

\[\sum_{k=2}^{47} k+1\]
Somme
Somme

Symbole du produit

Modèle

\[\prod_{en dessous}^{au dessus} contenu\]

Démonstration

\[\prod_{k=2}^{47} k+1\]
Produit
Produit

En réalité, les intégrales doubles et triples peuvent également s'écrire avec des intégrales simples à l'intérieur d'autres intégrales simples. Vous trouverez des exemples ci-dessous, illustrant des cas plus ou moins exotiques.

\[\int{\int {x^2+y\ dx dy}}\]
\[\int{\int_{1}^{3} {x^2+y\ dx dy}}\]
\[\int{\int \limits_{1}^{3} {x^2+y\ dx dy}}\]
\[\int_{0}^{4}{\int_{1}^{3} {x^2+y\ dx dy}}\]
\[\int \limits_{0}^{4} {\int \limits_{1}^{3} {x^2+y\ dx dy}}\]
\[\int{\int{\int {x^2+y+z\ dx dydz}}}\]
\[\int_{x=0}^{x=5}{\int_{y=0}^{y=4}{\int_{z=1}^{z=3} {x^2+y+z\ dx dydz}}}\]
\[\int \limits_{x=0}^{x=5} {\int \limits_{y=0}^{y=4} {\int \limits_{z=1}^{z=3}{x^2+y+z\ dx dydz}}}\]
Intégrales doubles
Intégrales doubles

Si le besoin d'écrire plusieurs lignes sous un opérateur se fait sentir, utilisez la commande \substack{}. Il faut alors séparer chaque ligne par les habituels « \\ ».

\[\sum_{\substack{k=0 \\ i=0 \\ j=0}}^{n} i+j+k\]
\[\prod_{\substack{k=0 \\ i=0 \\ j=0}}^{n} i+j+k\]
La commande substack{}
La commande substack{}

L'auteur