Partage

Factorisation d'une expression algébrique

Troisième

Sujet résolu
Le 9 janvier 2011 à 14:04:48

Bonjour,

Un dernier petit problème sur mon devoir :-° ...
En fait, la factorisation ça n'a jamais vraiment été mon point fort et là je dois factoriser une expression algébrique...

L'expression à factoriser : \((x - 3)^2 - 2 \times x + 7\)

En premier, il faut trouver le facteur commun. C'est bien \((x - 3)\), non ?

Après, en théorie, si je comprends bien (ce qui n'est apparemment pas le cas), ça devrait faire :
\((x - 3) \times (x - 3) - (x - 3) \times (2 \times x) +7\)

Mais si on prend un nombre (par exemple 5), ça donne -9 à la place de 1...


Quelqu'un pourrait m'expliquer :o ?

Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).
Publicité
Le 9 janvier 2011 à 14:04:48
Le 9 janvier 2011 à 14:14:43

Ta factorisation est fausse. Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que factoriser consiste à transformer une somme en produit. Ton expression est la somme de \((x-3)^2\), de \(-2x\) et de \(7\) (soustraire consistant à ajouter un nombre négatif [bon là, \(-2x\) n’est pas nécessairement négatif mais soustraire \(2x\) revient à ajouter \(-2x\)]). Là, tu n’as pas de facteur commun évident. Tu n’as donc pas d’autre choix que de développer, de simplifier puis de remarquer que ce que tu obtiens est un résultat particulier.
Le 9 janvier 2011 à 14:21:10

Citation : Fihld

Ta factorisation est fausse. Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que factoriser consiste à transformer une somme en produit. Ton expression est la somme de \((x-3)^2\), de \(-2x\) et de \(7\) (soustraire consistant à ajouter un nombre négatif). Là, tu n’as pas de facteur commun évident. Tu n’as donc pas d’autre choix que de développer, de simplifier puis de remarquer que ce que tu obtiens est un résultat particulier.

En développant et en réduisant l'expression j'obtiens \(x^2 -8x + 16\).
Tout ce que je remarque c'est que \(8 \times 2 = 16\) et que \(2^3 = 8\):-° ...
Je sèche depuis hier sur ce truc :-° .
Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).
Le 9 janvier 2011 à 14:24:37

Cette forme ne te rappelle rien ? Tu as dû obtenir toi-même ce type de résultat de nombreuses fois en développant certaines expressions particulières (voire remarquables).
Le 9 janvier 2011 à 14:26:53

Indice :

-8 = 2 * (-4)
16 = (-4)²


Une formule de ton cours doit normalement dire : (a - b)² = a² -2ab + b²

Si la tu ne vois pas ...
Le 9 janvier 2011 à 14:37:37

Citation : Fihld

Cette forme ne te rappelle rien ? Tu as dû obtenir toi-même ce type de résultat de nombreuses fois en développant certaines expressions particulières (voire remarquables).

Le \(x^2 -8x + 16\) ? Non :-° . SI ! Les identités remarquables !

\(x^2 -2 \times x \times 3 + 3^2 - 2 \times x + 7\) Là c'est la somme de \(x^2\), \(-2 \times x \times 3\), \(3^2\), \(-2 \times x\) et \(7\).
Cette ligne est dans mon développement o_O ...

Le facteur commun, faut qu'il soit commun à tous les nombres, non ? Là, je ne vois toujours pas de facteur commun :-° ...
Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).
Le 9 janvier 2011 à 14:57:42

Citation : Guillaume21

Citation : Fihld

Cette forme ne te rappelle rien ? Tu as dû obtenir toi-même ce type de résultat de nombreuses fois en développant certaines expressions particulières (voire remarquables).

Le \(x^2 -8x + 16\) ? Non :-° . SI ! Les identités remarquables !

La réponse à ton problème se situe dans cette phrase ;)

Je te rappelle l'indice de GrandFoine :
-8x = 2*(-4)*x
16 = (-4)²
Le 9 janvier 2011 à 15:04:43

Citation : remis

Citation : Guillaume21

Citation : Fihld

Cette forme ne te rappelle rien ? Tu as dû obtenir toi-même ce type de résultat de nombreuses fois en développant certaines expressions particulières (voire remarquables).

Le \(x^2 -8x + 16\) ? Non :-° . SI ! Les identités remarquables !

La réponse à ton problème se situe dans cette phrase ;)

Je te rappelle l'indice de GrandFoine :
-8x = 2*(-4)*x
16 = (-4)²

Rire nerveux.
Deuxième rire nerveux.


Je dois bien factoriser ça : \((x - 3)^2 - 2 \times x + 7\). Donc là il y a une identité remarquable (\((x - 3)^2\)) Mais les indices j'y comprends rien...

J'ai l'impression de tourner en rond :honte: .
Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).
Le 9 janvier 2011 à 15:11:58

Reprenons.

Tu dois factoriser (x-3)² - 2x + 7

Comme l'a dit Fihld,

Citation : Fihld

Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que factoriser consiste à transformer une somme en produit. Ton expression est la somme de \((x-3)^2\), de \(-2x\) et de \(7\) (soustraire consistant à ajouter un nombre négatif [bon là, \(-2x\) n’est pas nécessairement négatif mais soustraire \(2x\) revient à ajouter \(-2x\)]). Là, tu n’as pas de facteur commun évident. Tu n’as donc pas d’autre choix que de développer, de simplifier puis de remarquer que ce que tu obtiens est un résultat particulier.

Tu dois donc développer et trouver que \((x-3)^2-2x+7 = x^2-8x+16\)

En observant bien, tu peux remarquer ceci :
\(x^2-8x+16=(x)^2-(2\times x \times 4) + 4^2\)

Or, tu sais que \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
et donc que \(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)

Donc
\((x)^2-(2\times x \times 4) + 4^2 = ... ??\)^^
Le 9 janvier 2011 à 15:18:43

Citation : remis

Reprenons.

Tu dois factoriser (x-3)² - 2x + 7

Comme l'a dit Fihld,

Citation : Fihld

Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que factoriser consiste à transformer une somme en produit. Ton expression est la somme de \((x-3)^2\), de \(-2x\) et de \(7\) (soustraire consistant à ajouter un nombre négatif [bon là, \(-2x\) n’est pas nécessairement négatif mais soustraire \(2x\) revient à ajouter \(-2x\)]). Là, tu n’as pas de facteur commun évident. Tu n’as donc pas d’autre choix que de développer, de simplifier puis de remarquer que ce que tu obtiens est un résultat particulier.

Tu dois donc développer et trouver que \((x-3)^2-2x+7 = x^2-8x+16\)

En observant bien, tu peux remarquer ceci :
\(x^2-8x+16=(x)^2-(2\times 4 \times x) + 4^2\)

Or, tu sais que \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
et donc que \(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)

Donc
\((x)^2+(2\times 4 \times x) + 4^2 = ... ??\)^^


Donc \((x)^2 + (2 \times 4 \times x) + 4^2 = x^2 + 8x + 16\).

Ok mais j'ai toujours pas compris comment je fais ma factorisation :-° ... Je dois développer ligne par ligne le calcul et là je vois pas du tout comment passer de \((x - 3)^2 - 2x + 7\) à \(x^2 -8x + 16\).
De plus, \(x^2 -8x + 16\) c'est le résultat du développement, non ? Pas le résultat de la factorisation :-° .
Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).
Le 9 janvier 2011 à 15:25:53

Quand on dit de factoriser une expression, comme cela a été dit, cela veut dire transformer une somme en produit.

Pour arriver à ce produit final, rien ne t'empêche de développer, de simplifier, de réduire, etc.

Factoriser \((x-3)^2 - 2x +7\) est strictement équivalent à factoriser \(x^2 - 8x + 16\) puisque ces expressions sont égales.
Le 9 janvier 2011 à 18:45:33

Citation : Guillaume21

Citation : remis

[...]Donc
\((x)^2+(2\times 4 \times x) + 4^2 = ... ??\)^^


Donc \((x)^2 + (2 \times 4 \times x) + 4^2 = x^2 + 8x + 16\).


Attention, j'ai fait une erreur de signe. C'est bien \((x)^2 - (2 \times 4 \times x) + 4^2\) et pas \((x)^2 + (2 \times 4 \times x) + 4^2\).


Pour en revenir au résultat que tu m'annonces :
\((x)^2 - (2 \times 4 \times x) + 4^2 = x^2 - 8x + 16\)
Ceci est vrai, mais tu reviens en arrière.


Rappelle toi de ceci :
\(3(x-1)\) ---- développement -------> \(3x-3\)
\(3(x-1)\) <--- factorisation -------- \(3x-3\)

Mais comment faire pour factoriser ??
Prenons un exemple :
\(12x + 4\)
Comme tu connais bien tes tables de multiplication, tu sais que \(12=3\times 4\) et \(4 = 4 \times 1\). Tu vois ainsi que 4 est un facteur commun à 12 et à 4.
Donc \(12x+4 = (4\times 3x)+(4\times 1) = 4\times(3x + 1)\)



Dans notre cas, on a \(x^2-8x+16=1x^2-8x+16\)
Ici, il existe un facteur commun entre 1, 8 et 16 : il s'agit de 1. En effet, 1x1=1, 1x8=8 et 1x16=16.
Donc on peut écrire que \(x^2-8x+16=1\times (x^2-8x+16)\).
C'est vrai, mais ça ne nous a pas énormément avancés. ^^


Heureusement, tu as appris (et tu connais par coeur) ce qu'on appelle des identités remarquables.
Ce sont des produits particuliers que tu rencontreras très souvent et qui te sont donc très utiles :
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Si tu ne comprends pas d'où viennent ces résultats, tu peux les retrouver facilement :
\((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2-2ab+b^2\)
\((a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ba -b^2 = a^2-b^2\)


Là encore, n'oublie pas ceci :
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
------- développement ----->
<------ factorisation ------




Revenons à ton calcul, tu as :
\(x^2-8x+16\)
\(=(x)^2-(2\times 4 \times x) + 4^2\)

Ne trouves-tu pas que cette dernière formule ressemble à l'une des identités remarquables que je viens de te citer ?
Oh que oui ! ^^
En effet :
\((x)^2-(2\times x \times 4) + 4^2\)
\(=a^2 - (2\times a \times b) + b^2\) avec \(a=?\) et \(b=?\)
\(=(... - ...)^2\)





J'espère avoir été clair :)
Si tu ne comprends toujours pas, essaye de bien relire tout ça, de bien comprendre toutes les formules, et dis-nous ce que tu ne comprends pas ;)
Le 11 janvier 2011 à 17:53:01

Ce matin, on a rendu le DM et 5 minutes après on a fait le cours sur ce "type" de factorisation... Il a prit comme exemple pour le cours le même expression à factoriser que dans le DM :honte: .
Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).
Le 11 janvier 2011 à 20:12:48

Et bien j'espère que c'est désormais clair maintenant ;)

Si t'as des questions, n'hésite pas :)
Le 11 janvier 2011 à 20:55:04

Citation : remis

Et bien j'espère que c'est désormais clair maintenant ;)

Si t'as des questions, n'hésite pas :)

Oui, tout est clair, merci à tous :D !
En fait avec la leçon c'est tout de suite plus facile :p !
Anciennement Guillaume21. Recrute 1 programmeur C++ (MMORPG).

Factorisation d'une expression algébrique

× Après avoir cliqué sur "Répondre" vous serez invité à vous connecter pour que votre message soit publié.
  • Editeur
  • Markdown