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Application du Binôme de Newton sur 3 terme?

Sujet résolu
Le 29 octobre 2011 à 16:32:12

Bonjour,

Pour Math Discrète j'ai reçu une question un peu embêtante. La question est : Imaginons qu'on résout \((x+y+z)^n\) Combien de terme aura notre expansion? Et calcule le coëfficient de \(x^5y^3z^2\) dans l'expansion de \((x+y+z)^1^0\).

L'application du binôme de Newton est évidente, mais je ne vois pas le liens entre le nombre de terme et le binôme de Newton et je ne vois pas comment appliquer le Binôme de Newton sur \((x+y+z)^n\) car j'ai appris à l'appliquer sur \((x+y)^n\) qui n'a que 2 termes.
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Le 29 octobre 2011 à 16:32:12
Le 29 octobre 2011 à 17:14:09

Quand tu développes ton produit (x+y+z)^10, tu trouves xxxxxxxxxx + xxxxxxxxxy + xxxxxxxxxz + xxxxxxxxyx + xxxxxxxxyy + xxxxxxxxyz + ...
Tu vois donc que le nombre de x^5 y^3 z^2 est égal au nombre de manières de choisir 5 places pour le x parmi les 10 possibles, puis 3 places pour le y parmi les 3 possibles restantes (puis les 2 places pour le z s'en déduisent par élimination).
Soit (5 parmi 10)x(3 parmi 5)=2520.
Le 29 octobre 2011 à 17:39:21

Je ne vois pas comment tu trouve pour \((x+y+z)^1^0 = x^1^0+x^9y+x^9z+x^9y+x^8y^2+x^8y^1z^1+ ...\).
Le 29 octobre 2011 à 19:15:07

Ou sinon tu poses \(a=x+y\), tu te retrouves avec une formule du binôme classique et tu refais ensuite la manipulation dans l'autre sens.
anonyme
avatar
Le 29 octobre 2011 à 19:58:14

Citation : Pi-Ware


je ne vois pas comment appliquer le Binôme de Newton sur \((x+y+z)^n\) car j'ai appris à l'appliquer sur \((x+y)^n\) qui n'a que 2 termes.



@Krosian t'a indiqué le raisonnement pour obtenir le coefficient du terme \(x^5y^3z^2\) pour \(n=10\)

Si tu généralises ce raisonnement, tu obtiens la formule du trinôme de Newton qui généralise celle du binôme.
Elle s'écrit \((x+y+z)^n = \sum_{i+j+k=n} P_n^{i,j,k}x^iy^jz^k\) avec les coefficients \(P_n^{i,j,k}=\frac{n!}{i!j!k!}\)

Tu peux vérifier que l'on obtient bien le coefficient calculé par @Krosian dans l'exemple ci-dessus.
Pour ta seconde remarque, Krosian a amorcé symboliquement le début du développement, je pense.
Le coefficient de \(x^9y^1z^0\) vaut 10, avec \(i=9,j=1,k=0\), dans la formule.
anonyme
avatar
Le 29 octobre 2011 à 20:29:05

Le multinôme généralise le binôme de Newton et le trinôme de Newton
Le 29 octobre 2011 à 21:12:10

J'ai compris car je n'avais pas pris connaissance du multinôme de Newton. Cette exercice était plus facile que je pensais en fin de compte. Merci à vous!

Application du Binôme de Newton sur 3 terme?

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